Физика в примерах и задачах

Качественно характер зависимости угла отклонения метеорита от скорости v и прицельного расстояния l, т.е. расстояния от центра Земли, на котором пролетел бы метеорит, если бы не было земного притяжения (рис. 21.1), можно установить сразу: при заданной скорости v этот угол тем меньше, чем больше l. Это ясно, так как на пролетающий на большом расстоянии метеорит ослабевающее с расстоянием земное притяжение влияет слабо. При заданном l угол отклонения тем меньше, чем больше скорость v. В самом деле, при большой скорости время пролёта мало и сила земного тяготения не успевает вызвать заметного искривления траектории метеорита.

Для получения количественного результата необходимо использовать некоторые свойства гиперболической траектории, по которой движется метеорит, если он приходит к Земле из бесконечности. Гипербола - это геометрическое место точек, разность расстояний до которых от двух заданных точек O и O', называемых фокусами, постоянна: r-r=const (рис. 21.1). Один из фокусов гиперболы O совпадает с центром Земли, второй фокус O' лежит на прямой, проходящей через центр Земли и ближайшую к центру точку A траектории. На бесконечно больших расстояниях от Земли как при приближении, так и при удалении- скорость метеорита направлена по асимптотам гиперболы, т.е. задача состоит в нахождении угла между асимптотами. Точка пересечения асимптот лежит посредине между фокусами.

Приравняем разности расстояний от фокусов O и O' до бесконечно удалённой точки (O'B на рис. 21.1) и до ближайшей к центру Земли точки (A на рис. 21.1). Из треугольника OO'B находим

O'B

=

2l tg

2

,

OO'

=

2l

cos (/2)

Разность расстояний от фокусов до точки A равна

AO'

-

AO

=

(OO'-AO)

-

AO

Обозначим через r расстояние AO от центра Земли до ближайшей точки траектории. Теперь условие равенства разности расстояний до выбранных точек можно записать в виде

2l tg

2

=

2l

cos (/2)

-

2r

.

Перенося 2r в левую часть, возводя обе части в квадрат и используя тождество 1/cos^2=1+tg^2, получаем

tg

2

=

l^2-r^2

2lr

.

(1)

При заданном прицельном расстоянии l расстояние r до ближайшей к центру Земли точки траектории зависит от скорости v на бесконечности. Для того чтобы исключить r из формулы (1), воспользуемся законом сохранения энергии

mv^2

2

=

mv^2

2

-

mgR^2

r

(2)

(v - скорость метеорита в точке A, R - радиус Земли) и вторым законом Кеплера, который при движении в центральном поле справедлив и для разомкнутых траекторий:

lv

=

rv

.

(3)

Правая часть этого равенства очевидна, поскольку в ближайшей к Земле точке траектории A вектор скорости v перпендикулярен радиусу Земли. Левая часть этого равенства становится очевидной, если посмотреть на рис. 21.2.

Рис. 21.2. Применение второго закона Кеплера к гиперболической орбите

Из закона сохранения энергии (2) и формулы (3) легко находим

l^2-r^2

r

=

2gR

v^2

,

что после подстановки в (1) даёт

tg

2

=

gR^2

lv^2

.

(4)

Эта формула решает поставленную задачу: определяет угол отклонения метеорита в зависимости от прицельного расстояния и скорости на бесконечности. Угол /2 монотонно возрастает от 0 до /2 при уменьшении произведения lv^2 от до 0, что согласуется с приведёнными выше качественными соображениями.

При решении задачи мы предполагали, что траектория метеорита не задевает Землю. Уравнения (2) и (3) позволяют найти условие, которому должны удовлетворять прицельное расстояние l и скорость метеорита на бесконечности v, чтобы это действительно было так. Полагая в этих уравнениях минимальное расстояние r до центра Земли равным радиусу Земли R и исключая из них v, находим

l

_мин

=

R

1+

2gR

v^2

1/2

.

При меньших значениях прицельного расстояния метеорит упадёт на Землю.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Наибольшее значение угла отклонения _max получается из (4) при наименьшем возможном (при заданной скорости v) значении прицельного расстояния l_min, выражение для которого можно переписать несколько иначе, воспользовавшись тем, что 2gR равно квадрату второй космической скорости v_II:

l

_min

=

R

1+(v

_II

/v)^2

(l_min и _max соответствуют траектории, почти касающейся земного шара). Таким образом,

_max

=

2arctg

(v_II/v)^2

21+(v_II/v)^2

.

(5)

Если скорость на бесконечности мала по сравнению со второй космической скоростью: v_II, то в знаменателе (5) под корнем можно пренебречь единицей:

_max

2 arctg

v_II

v

т.е _max-> при v/v_II->0: при малой начальной скорости и надлежащем выборе её направления (т.е. таком, чтобы метеорит всё-таки прошёл мимо Земли) направление скорости метеорита после облёта Земли изменится практически на противоположное.

2. Угол отклонения метеорита будет мал, как видно из (4), при выполнении неравенства gR^2/lv^21. В этом случае в (4) тангенс можно заменить его аргументом:

2gR^2

lv^2

.

(6)

Правая часть этого выражения представляет собой отношение абсолютной величины потенциальной энергии метеорита на расстоянии l от центра Земли mgR^2/l и его кинетической энергии на бесконечности mv^2/2.

Рис. 21.3. К вычислению малого угла отклонения метеорита