Физика в примерах и задачах

Введём систему координат так, что ось x направлена горизонтально вдоль нити, соединяющей шарики, а ось y - вертикально и проходит через центр масс шариков. При таком выборе осей нижний шарик будет двигаться вдоль оси x, центр масс C - вдоль оси y, а верхний шарик - по кривой, лежащей в плоскости x,y. Непосредственно из рис. 14.2 видно, что координаты верхнего шарика x и y можно выразить через угол , образуемый натянутой нитью с горизонтом:

x

=

l

2

cos

,

y

=

l

sin

.

(1)

Если из этих соотношений исключить угол , то получится уравнение траектории верхнего шарика. Разделив первое соотношение на l/2, второе на l, возводя их в квадрат и складывая, находим

x^2

(l/2)^2

+

y^2

l^2

=

1.

(2)

Это уравнение эллипса с полуосями l/2 и l.

Для того чтобы выяснить, при какой начальной скорости v движение шариков будет именно таким, нужно рассчитать силу натяжения соединяющей их нити. Скорость v должна быть достаточно большой, так чтобы сила натяжения нити ни в какой точке траектории не обращалась в нуль. С другой стороны, эта скорость не должна быть слишком большой, ибо если вертикальная составляющая силы натяжения нити превысит действующую на шарик силу тяжести mg, то нижний шарик оторвётся от поверхности стола.

При данной начальной скорости сила натяжения нити T ослабевает по мере подъёма шарика. Так происходит потому, что с приближением к верхней точке траектории скорость верхнего шарика уменьшается, а действующая на него сила тяжести играет всё большую роль в искривлении его траектории, и, следовательно, роль силы натяжения уменьшается. Поэтому для нахождения наименьшей начальной скорости, при которой нить ещё остаётся натянутой вплоть до верхней точки A траектории, составим уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика в этой точке. Так как в точке A ускорение направлено вертикально вниз, т.е. по нормали к траектории, то оно равно отношению квадрата скорости v шарика в этой точке к радиусу кривизны траектории R. Поэтому

T

+

mg

mv

R

.

(3)

Нить останется натянутой, если вычисленная из уравнения (3) сила натяжения T будет положительной: T0. Мы видим, что для нахождения T нужно знать v и R.

Скорость v проще всего найти с помощью закона сохранения энергии. Так как центр масс шариков не перемещается по горизонтали, то горизонтальные составляющие скоростей обоих шариков в любой момент времени равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Поэтому в момент прохождения верхним шариком наивысшей точки траектории скорости обоих шаров равны v. Так как в этот момент потенциальная энергия равна mgl, то

mv^2

2

=

2

mv^2

2

+

mgl

,

(4)

откуда

v^2

=

v^2

2

-

gl

.

(5)

Теперь нужно найти радиус кривизны эллипса в точке A. Это можно сделать так же, как в задаче 3 раздела «Кинематика», где определялся радиус кривизны циклоиды. Основная идея заключается в том, что рассматриваемую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики, пользуясь тем, что радиус кривизны входит в формулу для нормальной составляющей ускорения.

Вместо того чтобы рассматривать действительное движение верхнего шарика, при котором угол довольно сложным образом зависит от времени, рассмотрим вспомогательное движение некоторой точки по этому же эллипсу, считая, что угол равномерно меняется со временем: =t. Для такого вспомогательного движения уравнения (1) принимают вид

x

=

l

2

cos t

,

y

=

l

sin t

.

(6)

Дифференцируя эти уравнения по времени, находим проекции скорости вспомогательного движения на оси координат:

v

_x

=-

l

2

sin t

,

v

_y

=

l

cos t

.

(7)

Дифференцируя по времени уравнения (7), получаем проекции ускорения:

a

_x

=-

^2l

2

cos t

,

a

_y

=-

^2l

sin t

.

(8)

Рассмотрим тот момент, когда точка, совершающая вспомогательное движение, проходит через точку A эллиптической траектории на рис. 14.2. Этому моменту соответствует t=/2, и уравнения (7) и (8) дают

v

_x

=

-

l

2

,

a

_x

=

0

;

v

_y

=

0

,

a

_y

=

-

^2l

.

(9)

В точке A скорость вспомогательного движения v=l/2, а ускорение направлено по нормали к траектории и равно по модулю a=^2l. Так как ускорение связано с радиусом кривизны траектории R соотношением a=v^2R то для радиуса кривизны эллипса в точке A получаем

R

=

v^2

a

=

l

4

.

(10)

Таким образом, дугу эллипса вблизи точки A можно рассматривать как часть окружности радиусом l/4, показанной штриховой линией на рис. 14.3.

Рис. 14.3. Радиус кривизны эллипса в точке A равен l/4

Подставим найденные значения скорости движения шарика v из формулы (5) и радиуса кривизны R из (10) в уравнение второго закона Ньютона (3). В результате для силы натяжения нити найдём

R

=

2mv^2

l

-

5mg

.

(11)

Рис. 14.4. Ускорение каждого из шариков представляет собой сумму ускорения a середины нити и ускорений a' и a' связанных с движением по окружности