Физика в примерах и задачах

Рассмотрим теперь движение тела по петле с вырезом. Для того чтобы тело могло совершить «мёртвую петлю», в этом случае необходимо, чтобы, сорвавшись с края выреза в точке A и пролетев часть пути по параболе под действием только силы тяжести, оно попало бы как раз на продолжение желоба в точку B (рис. 13.4). Движение после отрыва от желоба происходит по закону

r

=

vt

+

gt^2

2

,

(10)

если начало отсчёта времени t и положения r выбраны в момент отрыва и в точке отрыва. Так как в точке отрыва A скорость v направлена по касательной к жёлобу, то, проецируя уравнение (10) на горизонтальное (x) и вертикальное (y) направления и требуя, чтобы траектория проходила через точку B (траектория 1 на рис. 13.4), получим

2R

sin

=

v

cos ·t

,

0

=

v

sin ·t

-

gt^2

2

.

(11)

Находя t из второго уравнения и подставляя в первое, получаем

v

=

gR

cos

.

(12)

Именно такой скоростью должно обладать тело в момент отрыва, чтобы оно попало в точку B.

Теперь обратим внимание на то, что формула (12) была получена только из кинематических соображений при рассмотрении свободного полёта тела от точки A к B. Поэтому необходимо проверить, что при такой скорости в точке A тело действительно сможет дойти до неё, двигаясь по жёлобу. Другими словами, нужно убедиться, что при такой скорости тело оказывает давление на жёлоб, т.е. вычисляемая по формуле (3) при = сила N больше нуля. Подставляя v^2 из (12) в формулу (3), получаем

N

=

mg

1

cos

-

cos

.

Это выражение неотрицательно при любых от 0 до /2, которые только и представляют интерес. Скорость в точке A связана с искомой начальной высотой h соотношением (5), в котором, разумеется, угол следует заменить на :

v^2

=

2gR

h

R

-1-

cos

.

(13)

Приравнивая правые части выражений (12) и (13), находим

h

=

R

1+

cos

+

1

2 cos

.

(14)

Эта формула даёт то значение начальной высоты h, при котором тело преодолеет мёртвую петлю с вырезом именно так, как нужно, - покинув жёлоб в точке A, вновь коснётся его как раз в точке B. Касание желоба в точке B произойдёт без удара, так как скорость тела при движении по параболе в этой точке будет направлена по касательной к жёлобу.

Если начальная высота будет меньше, чем значение, даваемое формулой (14), то, даже если тело дойдёт по жёлобу до точки A, дальше оно полетит по параболе 2 на рис. 13.4 и ударится о жёлоб ниже точки B. Если же начальная высота будет больше, чем нужно, то тело вообще вылетит из желоба через разрез, двигаясь по параболе 3.

Исследуем зависимость необходимой начальной высоты h от угла , характеризующего вырез. Как видно из формулы (14), при =0, т.е. при отсутствии выреза, h=5R/2, что совпадает с минимальной начальной высотой (9), которая требуется для преодоления замкнутой петли. С увеличением угла начальная высота убывает, достигая минимума, равного h=(1+R), при =/4. Действительно, зависящие от слагаемые в формуле (14) cos +1/(2 cos ) можно записать в виде

1

2

x

+

1

x

,

где через x обозначено 2cos . Но x+1/x имеет минимум, равный двум, при x=1, откуда и получаются приведённые значения минимальной высоты h и угла =/4. При дальнейшем увеличении угла высота h монотонно возрастает и стремится к бесконечности при ->/2 (рис. 13.5). При =/3, как легко убедиться, высота h снова равна 5R/2. Таким образом, если угол выреза меньше /3, необходимая начальная высота меньше, чем при замкнутом жёлобе.

Рис. 13.5. При 0/3 начальная высота h почти не зависит от угла

Интересно отметить, что высшая точка траектории 1 в разрезе желоба (рис. 13.4) при любых углах лежит выше продолжения окружности. Действительно, максимальная высота подъёма тела после отрыва в точке A равна

v^2 sin^2

2g

,

что после подстановки v^2 из (12) даёт

R sin^2

2 cos

.

Поэтому высота этой точки траектории над центром окружности O, как видно из рис. 13.4, равна

H

=

R cos

+

R

2

sin^2

cos

=

R

2

cos

+

1

cos

.

Это выражение больше R при любых от 0 до /2.

14. Связанные шарики.

Рис. 14.1. Одинаковые шарики связаны нерастяжимой нитью

Два одинаковых маленьких шарика, связанных нерастяжимой невесомой нитью длины l (рис. 14.1), лежат на гладкой горизонтальной поверхности. Одному из шариков сообщают скорость v, направленную вертикально вверх. Какой должна быть начальная скорость для того, чтобы нить всё время оставалась натянутой, а нижний шарик не отрывался от горизонтальной поверхности? Трением шарика о поверхность пренебречь. При исследовании условия отрыва нижнего шарика силу натяжения нити считать максимальной при вертикальном положении нити.

Предположим, что начальная скорость v такова, что эти условия выполнены, т.е. при движении шариков нить всё время остаётся натянутой, а нижний шарик не отрывается от поверхности. По каким траекториям тогда движутся шарики? Ясно, что нижний шарик движется прямолинейно, а верхний описывает некоторую кривую (рис. 14.2). Чтобы выяснить, что это за кривая, воспользуемся тем, что при вертикальной начальной скорости центр масс шариков в отсутствие трения нижнего шарика о поверхность стола может двигаться только по вертикали.

Рис. 14.2. Верхний шарик движется по эллипсу с полуосями l/2 и l