Физика пространства - времени

б) Какую скорость разовьёт космический корабль за данный промежуток времени? Но мы сразу же подвергнем этот вопрос критике и перефразируем его. Дело в том, что скорость β — недостаточно простая для исследования величина. Простым является параметр скорости θ, и его простота состоит в аддитивности. Смысл же аддитивности в том, что, если параметр скорости космического корабля на рис. 76 относительно воображаемой мгновенно сопутствующей инерциальной системы отсчёта меняется от 0 до 𝑑θ за время 𝑑τ по часам астронавта, то параметр скорости этого корабля по отношению к лабораторной системе отсчёта за тот же промежуток времени по часам астронавта изменится от своего первоначального значения θ до значения θ+𝑑θ. Свяжем теперь величину 𝑑θ с ускорением 𝑔* в мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта. В этой системе

𝑔*

𝑑τ

=

𝑑β

th 𝑑θ

≈

𝑑θ

,

так что

𝑑θ

=

𝑔*

𝑑τ

.

(64)

По прошествии каждого интервала времени 𝑑τ по часам астронавта происходит соответствующее увеличение параметра скорости космического корабля на 𝑑θ=𝑔*𝑑τ. Полная величина параметра скорости космического корабля в лабораторной системе отсчёта просто-напросто равна сумме всех этих последовательных увеличений параметра скорости. Пусть вначале космический корабль покоился. Тогда его параметр скорости линейно возрастал пропорционально величине истёкшего времени по часам астронавта согласно уравнению

θ

=

𝑔*τ

.

(65)

Так определяется параметр скорости θ космического корабля в лабораторной системе отсчёта в любой момент времени 𝑥 в системе отсчёта астронавта.

в) Какое расстояние в лабораторной системе отсчёта 𝑥 покрывает космический корабль за данный промежуток времени τ в системе отсчёта астронавта? В каждый момент скорость космического корабля в лабораторной системе отсчёта связана с его параметром скорости уравнением 𝑑𝑥/𝑑𝑡=th θ, так что расстояние 𝑑𝑥, пройденное за лабораторное время 𝑑𝑡 равно

𝑑𝑥=th θ 𝑑𝑡.

Вспомним, что соответствующие промежутки времени по часам астронавта 𝑑𝑥 представляются как более длинные промежутки 𝑑𝑡 в лабораторной системе отсчёта (замедление хода времени), и между ними существует связь

𝑑𝑡=ch θ 𝑑τ.

Отсюда расстояние в лабораторной системе отсчёта 𝑑𝑥, пройденное за время 𝑑τ по часам астронавта, равно

𝑑𝑥

=

th θ

ch θ

𝑑τ

=

sh θ

𝑑τ

.

Подставляя сюда выражение θ=𝑔*τ из пункта (б), найдём

𝑑𝑥

=

sh(𝑔*τ)

𝑑τ

.

Просуммируем (проинтегрируем) все эти малые перемещения 𝑑𝑥, начиная с момента «нуль» во времени астронавта и до конечного момента по этому времени; мы получим

𝑥

=

1

𝑔*

[ch(𝑔*τ)-1]

.

(66)

Так выражается расстояние 𝑥 в лабораторной системе отсчёта, покрытое космическим кораблём за любое данное время τ в системе отсчёта астронавта.

г) Переведём 𝑔* (в м/м²) в 𝑔=𝑔*𝑐² (в м/сек²) и τ (в м) в τ_сек=τ/𝑐 (в сек) в формуле (66). Выясним, был ли прав инженер, заключив в своём отчёте о возможности полёта, упомянутого в начале этого упражнения (1 год 31,6⋅10⁶ сек). ▼

52*. Наклонный стержень

Рис. 77а. Метровый стержень движется перпендикулярно самому себе (наблюдение в лабораторной системе отсчёта).

Рис. 77б. Движение метрового стержня, наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.

Метровый стержень, параллельный оси 𝑥, движется в положительном направлении оси 𝑦 в лабораторной системе отсчёта со скоростью β^𝑦. В системе отсчёта ракеты этот стержень несколько наклонён вверх в положительном направлении оси 𝑥'. Объясните, почему это так, причём сначала не пользуясь уравнениями. Пусть центр метрового стержня проходит через точку 𝑥=𝑦=𝑥'=𝑦'=0 в момент 𝑡=𝑡'=0, как это изображено на рис. 77а и 776. Вычислите затем величину угла θ', образованного метровым стержнем и осью 𝑥' в системе отсчёта ракеты. Обсуждение. Где и когда пересекает правый конец метрового стержня ось 𝑥 с точки зрения лабораторной системы отсчёта? Где и когда пересекает правый конец метрового стержня эту ось с точки зрения системы отсчёта ракеты? Экспериментально наблюдаемая томасовская прецессия электрона в атоме (см. упражнение 103) может быть объяснена тем же самым путём, что и явление наклона метрового стержня. ▼

53*. Парадокс метрового стержня ¹)

¹) См. R. Shaw, American Journal of Physics, 30, 72 (1962).

Замечание. До того как приступать к упражнению 53, следует разобраться в упражнении 52.