Физика пространства - времени

Частота ' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять =. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по _r, найдём

'

=

_пад

1+_r

1-_r

1/2

_пад

1

+

_r

2

1

+

_r

2

,

'

=

_пад

(1+

_r

).

Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),

_отр

=

'

ch

_r

·

(1+

_r

cos ').

Теперь '=0, так что

_отр

=

'

1+_r

1-_r

1/2

'

(1+

_r

).

Подставляя сюда полученное выше выражение для ' найдём

_отр

_пад

(1+

_r

)^2

_пад

(1+2

_r

).

Сдвиг частоты приблизительно равен

_отр

-

_пад

=

_пад

·

2

_r

=

(2455

Мгц

)·2·12·10

590·10

Мгц

=

590

гц

.

Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно

_отр

=

2

_пад

_r

.

Если v_r=10 миль/час=4,47 м/сек, то _r10·10, и мы получим относительный сдвиг частоты

_отр

/

_пад

=

2

_r

3·10

.

83. Допплеровское уширение спектральных линий

Приравняйте ньютоновское выражение для кинетической энергии её выражению через температуру:

1

2

m

v^2

_ср

=

3

2

kT

.

Отсюда

v^2

_ср

1/2

=

3kT

m

1/2

и

_r

1

c

v^2

_ср

1/2

=

3kT

mc^2

1/2

.

Возьмите уравнение, обратное (122),

=

'

ch

_r

·

(1+

_r

cos ')

для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь '=0 и используйте приближение для малых _r:

=

'

1+_r

1-_r

1/2

'

1+

1

2

_r

1+

1

2

_r

'

(1+

_r

).

 

Тогда

-'

'

=

_r

=

3kT

mc^2

1/2

.

Наблюдаемая частота будет выше для тех частиц, которые приближаются к наблюдателю, и ниже для тех, которые удаляются. В целом при температурах, совместимых с ньютоновским приближением, должен наблюдаться эффект разброса частот, выражаемый полученной выше формулой («допплеровское уширение спектральных линий»).

84. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя

а) Воспользуемся законами сохранения для того, чтобы определить энергию и импульс частицы, испытывающей отдачу:

m

ch

_r

=

m

-

E

(энергия),

m

sh

_r

=

E

(импульс).

Возведите каждое из этих равенств в квадрат и вычтите первое из второго

m

^2

(ch^2

_r

-

sh^2

_r

)

=

m

^2

=

(m-E)^2

-

E^2

=

=

m^2

-

2mE

.

Отсюда следует выражение для энергии

E

=

m^2-m^2

2m

.

В частном случае, когда отношение

m-m

m

мало',

E

=

(m+

m

)

m-m

2m

m

-

m

=

E

(тем самым определяется E). В точном выражении заменим повсюду m по формуле m=m-E; получим

E

=

E

m-m

2m

=

E

m+m-E

2m

=

E

1

-

E

2m

,

что и требовалось показать.

б) Относительная поправка за счёт отдачи при излучении атомами видимого света составляет

E

E

3 эв

2·10^1 эв

=

1,5·10^1

(отдача).

Если kT1/40 эв, то формула, полученная в упражнении 83, даёт

=

E

E

=

3/40

10·10

3·10

(по Допплеру).

Мы видим, что допплеровское уширение частот видимого света, излучаемого атомами, намного больше, чем эффект сдвига энергии фотона за счёт отдачи атома.

85. Эффект Мёссбауэра

Возьмём из предыдущего упражнения уравнение (123)

E

E

=-

E

2m

.

Как энергию испущенного фотона E=14,4·10^3 эв, так и массу покоя m испустившей его частицы нужно выразить в одних и тех же единицах. Масса покоя протона приблизительно равна 10 эв (см. данные в конце книги); масса покоя Fe, состоящего из 26 протонов и 31 нейтрона, превышает эту величину примерно в 57 раз. Следовательно,

E

E

-

14·10^3 эв

2·57·10 эв

-

10

.

б) Когда m=1 г=10^3/(1,7·10^2 кг/протон)0,6·10^2 масс протонам 0,6·10^3^3 эв, мы получим

E

E

-

14·10^3 эв

6·10^3^2 эв

-

2·10^2

— относительный сдвиг, намного меньший, чем в случае свободного атома железа! [ср. часть а)].

в) Воспользовавшись результатами упражнения 72, найдём частоту:

E

_обычн

=

(14,4·10^3

эв

)

(1,6·10^1

дж

/

эв

)

=

=

23·10^1

дж

=

h

или

=

23·10^1 дж

6,6·10^3 дж/сек

=

3,5·10^1

гц

.

Ширина линии в герцах равна

=

=

3·10^1^3·3,5·10^1

гц

=

10

гц

.

Относительная ширина спектральной линии, равная 3·10^1^3, намного меньше, чем относительный сдвиг, обусловленный отдачей свободного атома [т.е. 10 — результат, полученный в части а)], и вместе с тем намного больше, чем относительный сдвиг в процессе без отдачи [2·10^2 для однограммового образца; см. часть б)].

86. Резонансное рассеяние

Фотон выполняет двоякую роль. Во-первых, он возбуждает атом, прежде находившийся в состоянии с основной энергией (массой) m, переводя его в состояние с m. Для этого он должен столкнуться с атомом и поглотиться им, а значит, передать ему нежелательный толчок. Следовательно, и это во-вторых, фотон передаёт атому также кинетическую энергию отдачи. Если у фотона запас энергии будет достаточен лишь для выполнения первой роли, то он никак не сможет выполнить ни её, ни вторую роль. Если, однако, атом обладает очень большой массой, то при отдаче он приобретёт весьма малую скорость и потеря энергии на отдачу будет мала. Тогда энергия фотона может быть очень близкой к разности m-m. Кинетическую энергию, переданную атому, в случае таких малых скоростей можно рассчитывать с помощью законов ньютоновской механики:

T

(Импульс)^2

2·(Масса)

(m-m)^2

m

.

Отсюда можно заключить, что относительная поправка для энергии отдачи приближённо выражается как

Энергия отдачи

Энергия возбуждения

=

T

m-m

m-m

m

.