Физика пространства - времени

Но для фотона p=E, и первое из уравнений записывается в виде

E'

=

E

ch

_r

(1-

_r

cos )

,

как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos ' и исключим из него E пользуясь (120):

cos '

=

E cos ch _r-E sh _r

E ch _r(1-_r cos )

,

cos '

=

cos -_r

1-_r cos

.

б) Будем исходить из формул, обратных (78):

E

=

p'

^x

sh

_r

+

E' ch

_r

,

p

^x

=

p'

^x

ch

_r

+

E' sh

_r

,

p

^y

=

p'

^y

,

p

^z

=

p'

^z

.

Вновь производя уже знакомые подстановки

p'

^x

=

p' cos '

=

E' cos '

,

p'

^y

=

p' sin '

=

E' sin '

и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии

E

=

E' ch

_r

(1+

_r

cos ')

.

Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё

cos

=

cos '+_r

1+_rcos '

.

Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].

в) Энергия фотона E и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны связаны друг с другом равенством E=h/c^2· (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде

'

=

ch

_r

·

(1-

_r

cos )

.

Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы.

76. Распад -мезона; подробный пример

Решение дано в тексте.

77. Полёт неоновой лампочки

Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью x, станет равен _r. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при =90°, cos =0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн).

78. Физик и светофор

Учитывая в уравнении (120), что энергия E пропорциональна частоте , а cos =-1, получим

'

=

ch

_r

·

(1+

_r

)

1+_r

1-_r

1/2

.

Подставляя сюда =c/, найдём

'

=

1-_r

1+_r

1/2

или

_r

=

1-('/)^2

1+('/)^2

.

При '/=(5300 A)/(6500 A)=0,81

('/)^2

=

0,66

,

так что

_r

=

0,34/1,66

=

0,20

.

откуда

v

_r

=

_r

c

=

6·10

м

/

сек

=

=

216·10

км

/

час

=

13·10

миль

/

час

,

так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов.

79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца

На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна

v

=

2r

T

=

2

210 м

(24,7 дней)(86 400 сек/день)

=

=

2,1·10^3

м

/

сек

,

так что

=

v

c

=

7·10

.

Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв =0, а cos =1, получим

'

=

1-_r

1+_r

1/2

или

=

'

1-_r

1+_r

1/2

'

1

-

7·10

2

1

-

7·10

2

'

(1-7·10)

,

так что

=-

7·10

.

Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2·10 (см. упражнение 73).

80. Расширяющаяся Вселенная

а) Согласно условиям задачи,

'

=

4870 A

,

=

7300 A

,

=

'

=

.

Формулу (120) можно записать в виде

E

E'

=

'

=

1-_r

1+_r

1/2

или

_r

=

1-('/)^2

1+('/)^2

.

Так как '/=0,67, ('/)^2=0,45 то скорость равна

_r

=

0,55

1,45

=

0,38

.

б) Для того чтобы со скоростью =0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5·10 световых лет, требуется (5·10)/0,38=13·10 лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения.

81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера

Пусть время путешествия туда и обратно равно t в системе отсчёта Павла и t' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно 't'=t. Промежуток времени t, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен t=('/)t. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (=90°, cos =0). Отсюда получим

t

=

t'

ch

 

_r

.

В упражнении 27 было указано, что скорость равна _r=24/25, так что

ch

 

_r

=

(1-

_r

^2)^1

^/

^2

=

[1-(24/25)]^1

^/

^2

=

=

(69/625)^1

^/

^2

=

25/7

.

Поэтому, если t'=7 лет, то t=255 лет, что уже было получено в упражнении 27.

82. «Не превышайте скорости»

Скорость приближающейся машины равна v_r=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда

_r

=

v_r

c

=

12·10