Физика пространства - времени

1/2

cos

2

.

Возведём этот результат в квадрат и найдём cos 1/2 :

cos^2

2

=

T+2m

T+4m

.

Это и требовалось получить. Формула (124) непосредственно следует отсюда ввиду указанного в условии упражнения тригонометрического тождества. Если упругое столкновение рассматривать в ньютоновском приближении, то кинетическую энергию T налетающей частицы следует считать много меньшей, чем массу покоя любой из частиц. Тогда из нашего уравнения следует cos =0 и =90°, т.е. вывод механики Ньютона. В ультрарелятивистском случае кинетическая энергия T намного превышает массу покоя m, и поэтому можно пренебречь членом 4m по сравнению с T в знаменателе правой части формулы (124). Тогда cos =1 и =0 — обе частицы летят после столкновения вперёд. Сравните этот вывод с результатом, полученным в упражнении 68, где показано, что одиночный фотон (самая релятивистская из всех частиц!) может спонтанно распадаться на два фотона, лишь если эти последние движутся в том же направлении, что исходный фотон.

91. Давид и Голиаф — подробный пример

Решение дано в тексте.

92. Абсолютно неупругое столкновение

Решение этого упражнения проведено в гл. 2 на стр. 161 и 162, причём ответ записан в виде уравнения (92). Величина m_конечн=m=m+m, так как кинетическая энергия налетающей частицы T намного меньше, чем масса покоя любой из частиц. При этом условии ещё допустим ньютоновский подход к данной задаче с его «принципом сохранения масс».

93. Порождение частиц протонами

а) Система частиц, изображённая на рис. 119, обладала импульсом до столкновения, но после этого её импульс равен нулю. Поэтому такая реакция не могла бы удовлетворять закону сохранения импульса, а значит, она невозможна.

б) Рассмотрим кадр «после» на рис. 120. Взяв вместо разлетающихся четырёх частиц конечного состояния такие же покоящиеся частицы, можно «сэкономить» избыточную кинетическую энергию и уменьшить на эту величину энергию, которая была первоначально придана двум сталкивающимся протонам (кадр «до», на рис. 120). Кинетическая энергия сталкивающихся частиц целиком переходит в массу покоя, лишь если все частицы конечного состояния покоятся.

в) Пусть E=T+m — энергия и p — импульс налетающего протона (рис. 121), E=T+m — соответственно энергия и импульс каждой частицы после реакции. Законы сохранения имеют вид:

T

+

m

+

m

=

4(

T

+m)

или

T

=

1

4

T

-

1

2

m

и

p

=

4

p

или

T^2

+

2mT

1/2

=

4

T

^2

+

2m

T

1/2

.

Исключая из последнего уравнения T и решая его затем относительно T, получим

T

=

6m

.

Это и есть пороговая энергия порождения протон-антипротонной пары. Так как масса покоя протона m составляет 1 Бэв=10 эв, то

T

_порог

=

6

Бэв

.

г) Из формулы в части в)

T

=

1

4

T

-

1

2

m

находим, полагая T=6m, что T=m.

Энергетический баланс для пороговой реакции можно кратко охарактеризовать таким образом: из всей первоначальной кинетической энергии 6m в массы покоя протона и антипротона превращается энергия 2m, и все 4 частицы, имеющиеся по окончании реакции, приобретают кинетическую энергию m каждая.

д) Согласно уравнению (92) на стр. 162,

m

^2

=

(m+m)^2

+

2Tm

,

в случае m=m=m и m=4m получим

16m^2

=

4m^2

+

2Tm

и

T

=

6m

,

что уже было найдено в части в).

е) Собственно, как мишень тяжёлое ядро ничем не примечательно. Лучше всего представлять себе, что налетающий протон сталкивается в мишени с одним-единственным протоном, а не сразу со многими (сравните это с выстрелом пулей в стаю птиц). Новым качеством протона в ядре является его движение там. Даже если это движение совершается с умеренной кинетической энергией (T=25 Мэв) навстречу налетающему протону, это уже даёт огромное преимущество, позволяя получать пары при гораздо более низких энергиях. Законы сохранения имеют вид

m

+

T

+

m

+

T

=

4(m+

T

)

(энергия),

T^2+2mT

-

T^2+2mT

=

=

4

T

^2

+

2m

T

1/2

(импульс).

Исключая из второго уравнения T с помощью первого, можно найти T:

T

=

6m

+

7T

-

4

3T^2+6Tm

.

Если кинетическая энергия T мала, приближённо получим

T

6m

-

4

6Tm

.

Полагая T=25 Мэв, найдём отсюда пороговую энергию

T

6000

Мэв

-

4·4000

Мэв

=

4400

Мэв

,

при этом всё равно, какое было выбрано ядро мишени — гелия или свинца! В формулу входит квадратный корень из энергии протона мишени, так как он даёт скорость этого протона. Такое движение навстречу «обстреливающему» протону делает его кинетическую энергию (в системе центра масс) много большей, чем в лабораторной системе отсчёта. Какие-то 25 Мэв позволяют сэкономить целых 1600 Мэв!

94. Порождение частиц электронами

Разберитесь сначала в решении упражнения 93. Воспользуйтесь уравнением (92) на стр. 162, приняв m=m_e в качестве массы налетающего электрона, m=m_p — массы протона мишени и m=m_e+3m_p — массы продуктов реакции (электрон, два протона и антипротон). Тогда это уравнение даст

(m

_e

+3m

_p

)^2

=

(m

_e

+m

_p

)^2

+

2T

_e

m

_p

,

откуда следует величина пороговой кинетической энергии электрона

T

_e

=

4m

_p

+

2m

_e

.