Физика пространства - времени

При упругом столкновении частицы с массой m и кинетической энергией T с частицей той же массы, находившейся в состоянии покоя, направления скоростей частиц после столкновения образуют разные углы с первоначальным направлением движения первой частицы, если энергии частиц после рассеяния различны. Однако ньютоновская механика предсказывает, что угол между векторами скорости частиц после рассеяния всегда равен 90°. Иное предсказание делает механика теории относительности: согласно ей этот угол должен быть меньше 90° (см. упражнение 40). Вопрос: насколько меньше 90° должен быть угол в простейшем случае симметричного упругого столкновения, когда частицы после рассеяния обладают одинаковыми энергиями и разлетаются под одинаковыми углами к первоначальному направлению движения первой частицы (рис. 117)? Определите угол, исходя лишь из законов сохранения импульса и энергии в релятивистской форме.

Рис. 117. Симметричное упругое столкновение тождественных частиц.

Обсуждение. Чему равна полная энергия системы до столкновения? Какой должна быть поэтому полная энергия каждой из двух частиц после столкновения? Чему должен быть поэтому равен импульс частицы? (См. введение к упражнениям на стр. 179, где сказано о взаимосвязи между импульсом и энергией и о том, почему следует избегать всякого упоминания или использования скорости в задачах, относящихся лишь к импульсу и энергии). Каков был начальный импульс системы? Покажите, что искомый угол определяется выражением

cos^2

2

=

T+2m

T+4m

.

Отсюда с помощью тригонометрического тождества

cos^2

2

=

1

2

(1+cos )

получите выражение

cos

=

T

T+4m

.

(124)

Чему равен полный угол : 1) для ньютоновского упругого столкновения при малой скорости и 2) для ультрарелятивистского столкновения с очень большой величиной T?

91. Давид и Голиаф — подробный пример

Какой минимальной кинетической энергией должен обладать электрон для того, чтобы передать половину своей кинетической энергии первоначально покоившемуся протону при упругом лобовом соударении? Проведите свои вычисления таким образом, чтобы в конце концов прийти к одному-единственному уравнению, решая которое можно (и должно) определить одну безразмерную неизвестную величину T_e/m_p, где T_e — кинетическая энергия налетающего электрона, а m_p — масса покоя протона. Определите величину T_e,обычн в Мэв, приближённо принимая m_p c^21000 Мэв. (Если вы будете решать это уравнение приближённо, дайте оценку погрешности).

Решение. Эта задача сводится к алгебраическим преобразованиям, и главное в ней — избежать ненужных алгебраических преобразований! Столкновение предполагается упругим, так что электрон и протон не уничтожаются в результате его и не возникает никакого излучения. В этом случае закон сохранения энергии сводится к сохранению кинетической энергии. Обозначим через T_e кинетическую энергию налетающего электрона. В условии сказано, что после столкновения протон обладает половиной энергии налетающего электрона: T_p=T_e/2. Поэтому и электрон уносит также половину своей первоначальной кинетической энергии: T_e=T_e/2.

Столкновение является лобовым, так что все движения происходят вдоль оси x, а импульсы складываются как скаляры с учётом лишь их знаков. Электрон отскочит от протона, и поэтому его импульс после столкновения будет отрицательным. Из закона сохранения импульса следует

p

_e

=

p

_p

-

p

_e

.

Чтобы связать импульс с энергией, воспользуемся общей формулой

E^2

-

p^2

=

m^2

,

откуда

p^2

=

E^2

-

m^2

=

(T+m)^2

-

m^2

=

=

T^2

+

2mT

+

m^2

-

m^2

=

T^2

+

2mT

,

подчёркнутые члены взаимно уничтожаются, так что

p

=

T^2+2mT

.

Поэтому закон сохранения импульса можно переписать в виде

T

_e

^2+2m

_e

T

_e

=

T

_p

^2

+

2m

_p

T

_p

1/2

-

T

_e

^2

+

2m

_e

T

_e

1/2

.

Подставляя сюда следствие закона сохранения энергии

T

_p

=

T

_e

=

T_e

2

,

получаем

T

_e

^2+2m

_e

T

_e

=

T_e^2

4

+

m

_p

T

_e

1/2

-

T_e^2

4

+

m

_e

T

_e

1/2

.

Деление этого соотношения с обеих сторон на T_em_p даёт

T_e

m_p

+

2m_e

m_p

1/2

=

T_e

4m_p

+

1

1/2

-

T_e

4m_p

+

m_e

m_p

1/2

.

Как и требовали условия задачи, в этом уравнении имеется лишь одна неизвестная величина T_e/m_p. Мы решим его приближённо, исходя из того факта, что масса покоя электрона приблизительно в 2000 раз меньше массы покоя протона, т.е. m_e/m_p1. Пренебрежём этим отношением в только что полученном выражении и найдём

T_e

m_p

1/2

T_e

4m_p

+

1

1/2

-

1

2

T_e

m_p

1/2

,

3

2

T_e

m_p

1/2

T_e

4m_p

+

1

1/2

.

Возводя обе стороны в квадрат, найдём

9

4

T_e

m_p

T_e

4m_p

+

1

,

T_e

m_p

1

2

.

Правильный ответ может отличаться от этого на часть или кратное величины m_e/m_p=1/2000. Умножая решение с обеих сторон на m_p c^2, получим

T

_e,

_обычн

=

T

_e

c^2

=

m_p c^2

2

=

1000 Мэв

2

=

500

Мэв

.

92. Абсолютно неупругое столкновение

Рис. 118. 4-вектор энергии-импульса составной частицы после абсолютно неупругого соударения.