Числа: от арифметики до высшей математики

Примером того, насколько удобна и эффективна десятеричная система, является американская денежная система. Она является десятеричной по своей природе. Рассмотрим ее, начиная с самых мелких монет, давно вышедших из обращения. 10 милей равны 1 центу, 10 центов равны 1 дайму, 10 даймов равны 1 доллару, 10 долларов равны одному иглу. (На самом деле ни мили, ни иглы практически не используются, но нам сейчас важен принцип.) Иглом (или орлом) раньше называли золотую монету номиналом в 10 долларов, которую чеканили в Соединенных Штатах. Название монета получила благодаря орлу, символу страны, изображенному на реверсе. В Великобритании золотая монета называлась совереном, поскольку на ней было изображение монарха, суверена. Сейчас золотые монеты вышли из обращения, и названия «игл» и «соверен» также постепенно забываются. А раньше имели хождение не только иглы, но и двойные иглы (20 долларов золотом), половинки иглов (5 долларов золотом) и четвертинки иглов (2,5 доллара золотом).

Десятеричная система распространяется на большие суммы. Так, единица С-ноут — это 100 долларов, а гранд — 1000 долларов.

Благодаря такой системе все денежные суммы можно всегда расписать в виде десятичных дробей. Если у вас в кармане 13,26 доллара, значит, вы имеете 1 десятидолларовый банкнот, 3 банкнота по 1 доллару, 2 десятых доллара, то есть 2 дайма, и 6 сотых доллара, то есть 6 центов.

Но, возможно, у вас другие купюры и монеты. Например, 1 пятидолларовая купюра, 1 купюра в 2 доллара, одна однодолларовая купюра, 5 полудолларов, 9 монет по четверти доллара, 4 дайма, 2 никеля и 1 пенни. Однако номиналы всех этих странных монет всегда записываются в виде десятичных дробей. Полдоллара никогда не записывается как $1/2, а только как $0,5. Четверть доллара всегда записывается как $0,25; дайм как $0,10, никель как $0,05 и, наконец, пенни как $0,01.

(Можно записывать номиналы не в долларах, а в центах, но и в этом случае десятеричная система сохраняется.)

Мы все так привыкли к удобству десятеричной системы при денежных операциях, что уже не задумываемся об этом. Однако такая система существовала не всегда. Старая британская денежная система была основана на других принципах. Самой мелкой монетой был фартинг, 4 фартинга составляли 1 пенни, 12 пенсов составляли 1 шиллинг, а 20 шиллингов — 1 фунт. Англичанам приходилось нелегко, когда надо было заниматься денежными подсчетами. Как сложить 4 фунта, 8 шиллингов, 2 пенса и 15 фунтов, 19 шиллингов и 11 пенсов? (Ответ составит 20 фунтов, 8 шиллингов, 1 пенни, но я не собираюсь объяснять, как я подсчитал эту сумму). В свое время британским школьникам приходилось тратить уйму времени для того, чтобы научиться оперировать с денежными единицами. В то же время американские школьники начинали легко осваивать арифметику, как только к ним в руки попадали первые монетки.

Однако и в Америке достаточно бессмыслицы в том, что касается единиц измерения, правда, не денежных, а единиц измерения длины, веса и объема. Большинство стран мира, за исключением Соединенных Штатов и еще нескольких государств, уже давно перешло на метрическую систему мер и весов, принятую еще в 1791 году во Франции.

Метрическая система является десятеричной. Рассмотрим для примера единицы длины. Основная единица длины в метрической системе — это метр (который равен 39,37 дюйма). От этой единицы и получила название вся система. (Слово «метр» пришло к нам из латыни (metrum), где оно означает «измерять». Приставки для различных единиц длины, о которых я расскажу ниже, также пришли из латыни и греческого. Греческие приставки используют для обозначения единиц, больших метра (дека — десять, гекто — сто и кило — тысяча), а латинские — для единиц, меньше метра (деци, санти и милли — это соответственно десять, сто и тысяча).

Десять метров составляют декаметр, десять декаметров — один гектометр, а десять гектометров — один километр. Можно пойти в сторону уменьшения. Одна десятая часть метра — это один дециметр, одна десятая часть дециметра — это один сантиметр, а одна десятая часть сантиметра — это один миллиметр.

Это означает, что если какое-то расстояние равно 2 километрам, 5 гектометрам, 1 декаметру, 7 метрам, 8 дециметрам, 2 сантиметрам и 9 миллиметрам, значит, это расстояние равно 2517,829 метра. С такими мерами просто проводить любые вычисления. Скажем, если у вас есть два объекта, один длиной 2 метра, 8 дециметров и 9 сантиметров, а другой длиной 5 метров, 5 дециметров и 5 сантиметров, то общая длина двух объектов составит 2,89 + 5,55 или 8,44 метра, или, что то же самое, 8 метров, 4 дециметра и 4 сантиметра.