Числа: от арифметики до высшей математики

Мы используем знак «×», поскольку правильный ответ мы получаем при перемножении знаменателей. А как обстоит дело с числителями? На первый взгляд кажется, что числитель не изменяется, но ведь 1 × 1 = 1. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, надо выяснить, как обстоит дело с дробями, числитель которых отличается от 1. Предположим, нам надо разделить 10 на пять равных частей. Каждая часть будет равна одной пятой от 10. Поскольку 10 : 5 = 2, следовательно, одна пятая часть от десяти составляет 2. Выражение «одна пятая от десяти» записывается как 1/5 × 10. Теперь попробуем представить это выражение в виде дроби. Во первых, 1/5 может быть преобразована в 2/10, если числитель и знаменатель дроби умножить на 2. Затем 10 можно представить как 10/1, умножить числитель и знаменатель на 3 и получить 30/3.

Теперь мы можем сказать, что 1/5 × 10 — это то же самое, что 2/10 ×  30/3. Теперь, если мы перемножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель, то получим 2 × 30/10 × 3, то есть 60/30, или 2, а это именно тот ответ, который мы ожидали получить.

Рассмотрим другой пример. Предположим, при перемножении 1/3 × 1/2 мы перевели дроби в 4/12 и 6/12, умножив числитель и знаменатель соответственно на 4 и на 6. Теперь мы имеем: 4/12 × 6/12 равно 24/144, если при перемножении мы следуем схеме «числитель × числитель», «знаменатель × знаменатель». Теперь разделим числитель и знаменатель ответа, 24/144, на 24 и получим 1/6, то есть тот ответ, который мы считаем верным результатом при перемножении 1/3 × 1/2.

Точно так же проводят операции деления. Числитель делимого делят на числитель делителя, а знаменатель делимого — на знаменатель делителя. 10/21 : 5/7 = (10 : 5) : (21 : 7), или 2/3, но здесь могут возникнуть осложнения. Что делать в одном или обоих случаях, если деление нацело невозможно? Тогда может оказаться, что и числитель, и знаменатель будут представлять собой дроби, то есть мы получим дроби внутри дробей.

К счастью, такого деления можно избежать.

Давайте вернемся к нашей предыдущей задаче, когда мы делили 10 на 5 равных частей. Мы получили ответ 2 в обоих случаях, то есть 10 : 5 и 10 × 1/5. Число 5 можно представить в виде дроби 5/1, а эту дробь можно рассматривать как перевернутую дробь 1/5. Такие дроби, то есть две дроби, у которых числитель первой равен знаменателю второй и, наоборот, знаменатель первой дроби равен числителю второй, называют обратными. Очевидно, 5/1 — это перевернутая дробь 1/5, то есть дроби 1/5 и 5/1 являются обратными, точно так же обратными являются дроби 2/3 и 3/2; дроби 55/26 и 26/55 и так далее. Далее, если мы утверждаем, что при делении 10 : 5 мы получаем тот же результат, что и при умножении 10 × 1/5, это означает, в свою очередь, что при делении на данное число мы получаем такой же результат, как и при умножении на число, обратное данному. (Обратите внимание, что только делитель можно заменять на обратное число, к делимому это не относится.) Раньше мы с вами уже убедились, что 10/21 : 5/7 = 2/3. Предположим, вместо деления мы провели умножение на обратную дробь: 10/21 × 7/5 = 70/105. Теперь разделим числитель и знаменатель этой дроби на 35. Мы получим 2/3, то есть именно тот результат, который и ожидали получить.

Теперь мы можем поделить 5/7 на 2/3, не опасаясь получить дроби внутри дробей, поскольку вместо деления мы проведем умножение на обратную дробь.

5/7 : 2/3 = 5/7 × 3/2 и получим ответ 15/14.

При перемножении дробей следует помнить, что порядок, в котором перемножаются дроби, не имеет значения. Например, 10/21 × 7/5 — это то же самое, что 10/5 × 7/21. В первом случае мы получаем ответ 10 × 7/21 × 5, а во втором — 10 × 7/5 × 21, наконец, в обоих случаях мы получаем результат 70/105, или (после деления на 35) 2/3.

Следует отметить, что второй вариант удобнее. В первом варианте дроби 10/21 и 7/5 невозможно сократить, во втором варианте дроби 10/5 и 7/21 легко сокращаются. 10/5 — это 2/1, а 7/21 — это 1/3, таким образом, выражение 10/5 × 7/21 преобразовалось в 2/1 × 2/3.

Удобнее работать с меньшими числами, поэтому обычно числитель и знаменатель дроби делят на одно и то же число, не делая никаких перестановок.

Например, в примере 7/10 × 17/49 можно разделить числитель одной дроби и знаменатель другой на одно и то же число (7). Тогда выражение упрощается и приобретает вид: 1/10 × 17/7. Такой пример решается гораздо легче, ответ 17/70, причем, разумеется, каким бы методом мы его ни решали, он не изменяется. Но второй способ, с привлечением сокращения дробей, значительно легче. Прием «сокращения» дробей при перемножении настолько удобен, что многие ученики пытаются внедрить его и при сложении. Но в этом случае прием не работает.

Сумма дробей 7/10 + 17/49 — это совсем не то же самое, что 1/10 + 17/7.

Сумма первого выражения равна 513/490, а второго — 1239/490.