Числа: от арифметики до высшей математики

Это правило распространяется также на дроби, которые не равны целому числу.

Если числитель и знаменатель дроби 1/3 умножить на 2, мы получим 2/6, то есть величина дроби не изменилась. И в самом деле, если вы разделите пирог на 3 части и возьмете одну из них или разделите его на 6 частей и возьмете 2 части, вы в обоих случаях получите одинаковое количество пирога. Следовательно, числа 1/3 и 2/6 идентичны.

Сформулируем общее правило. Числитель и знаменатель любой дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, и при этом величина дроби не изменяется. Это правило оказывается очень полезным. Например, оно позволяет в ряде случаев, но не всегда, избежать операций с большими числами.

Например, мы можем разделить числитель и знаменатель дроби 126/189 на 63 и получить дробь 2/3, с которой гораздо проще производить расчеты. Еще один пример.

Числитель и знаменатель дроби 155/31 можем разделить на 31 и получить дробь 5/1, или 5, поскольку 5 : 1 = 5.

В этом примере мы впервые встретились с дробью, знаменатель которой равен 1. Такие дроби играют важную роль при вычислениях. Следует помнить, что любое число можно разделить на 1 и при этом его величина не изменится. То есть 273/1 равно 273; 509993/1 равно 509993 и так далее. Следовательно, мы можем не разделять числа на целые и дробные, поскольку каждое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

С такими дробями, знаменатель которых равен 1, можно производить те же арифметические действия, что и со всеми остальными дробями: 15/1 + 15/1 = 30/1; 4/1 × 3/1 = 12/1.

Вы можете спросить, какой прок от того, что мы представим целое число в виде дроби, у которой под чертой будет стоять единица, ведь с целым числом работать удобнее. Но дело в том, что представление целого числа в виде дроби дает нам возможность эффективнее производить различные действия, когда мы имеем дело одновременно и с целыми, и с дробными числами.

Сначала умножим числитель и знаменатель дроби 1/3 на 5. Получим 5/15, величина дроби не изменилась. Затем умножим числитель и знаменатель дроби 1/5 на 3. Получим 3/15, опять величина дроби не изменилась. Следовательно,

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15.

Теперь попробуем применить эту систему к сложению чисел, содержащих как целую, так и дробную части.

Нам надо сложить 3 + 1/3 + 1¹/₄. Сначала переведем все слагаемые в форму дробей и получим: 3/1 + 1/3 + 5/4. Теперь нам надо привести все дроби к общему знаменателю, для этого мы числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 12, второй — на 4, а третьей — на 3. В результате получаем 36/12 + 4/12 + 15/12, что равно 55/12. Если вы хотите избавиться от неправильной дроби, ее можно превратить в число, состоящее из целой и дробной частей:

55/12 = 48/12 + 7/12, или 4⁷/₁₂.

Дроби, меньшие нуля

Все правила, позволяющие проводить операции с дробями, которые мы с вами только что изучили, также справедливы и в случае отрицательных чисел. Так, -1 : 3, можно записать как ^-1/₃, а 1 : (-3) как ¹/_-3.

Поскольку как при делении отрицательного числа на положительное, так и при делении положительного числа на отрицательное в результате мы получаем отрицательные числа, в обоих случаях мы получим ответ в виде отрицательного числа. То есть (-1) : 3 = ^-1/₃ или 1 : (-3) = ¹/_-3. Знак минус при таком написании относится ко всей дроби целиком, а не отдельно к числителю или знаменателю.

С другой стороны, (-1) : (-3) можно записать как ^-1/_-3, а поскольку при делении отрицательного числа на отрицательное число мы получаем положительное число, то можно записать как +1/3.

Сложение и вычитание отрицательных дробей проводят по той же схеме, что и сложение, и вычитание положительных дробей. Например, что такое 1- 1¹/₃? Представим оба числа в виде дробей и получим 1/1 - 4/3. Приведем дроби к общему знаменателю и получим (1×3)/(1×3) - 4/3, то есть 3/3 - 4/3, или -1/3.

Глава 5 РАЗБИВАЕМ НА ДЕСЯТКИ

Избегаем операций деления

Продолжаем разбираться с дробями. Мы уже выяснили, как умножать и делить дроби на целые числа. А как умножить дробь на дробь или разделить дробь на дробь?

Предположим, нам надо разделить- на 2

части. Все три третьих части вместе составят единицу. Если каждую из этих частей разделить пополам, получим частей, которые вместе также составляют 1. Поскольку каждая из этих меньших частей составляет одну шестую, мы можем утверждать, что одна вторая от одной третьей равна одной шестой. Рассуждая таким же образом, мы можем показать, что одна вторая от одной четвертой равна одной восьмой, а одна третья от одной четвертой — соответственно одной двенадцатой.

Действия с дробями удобно записывать в такой форме:

1/3 × 1/2 = 1/6; 1/4 × 1/2 = 1/8; 1/3 × 1/4 = 1/12.