Введение в логику и научный метод

Вторым способом, с помощью которого могут изменяться значения, является специализация. Для одного и того же символа область обозначаемых им объектов может быть ограничена. Тем самым он начинает обозначать более специальные вещи, чем обозначал ранее. Так, слово «хирург» («surgeon») некогда означало любого человека, работавшего руками. Сегодня им обозначаются лишь те, у которых есть специальное медицинское образование. Другими словами, со временем подвергнувшимися процессу специализации являются такие, как «министр», «целитель» и «художник».

Более интересное и плодотворное изменение значений слов происходит в результате расширения сферы их применения по причине метафорического расширения их значения. Так, слово «управляющий» («governor») некогда обозначало рулевого на корабле, «дух» («spirit») обозначало дыхание, изгиб трубы называется «локтем», а соответствующие соединительные окончания трубы называются «мама» и «папа» и т. д.

Ценность специальных символов

На данном этапе можно суммировать преимущества, которые можно получить от специально построенных символов.

Во-первых, такие символы позволяют различить и впоследствии не отождествлять различные значения. Нам нужно лишь договориться об употреблении отдельного символа для каждого отдельного понятия и не допускать обозначения разных понятий с помощью одного и того же символа. Это позволит свести к минимуму неопределенность, присущую обыденному языку.

Во-вторых, удобный символ позволяет сконцентрироваться на том, что является существенным в данном контексте. Когда в математике мы заменяем букву, например R, сложным выражением, таким как (а + Ь + с + d), или когда мы в силлогизме используем буквы «S», «Р», «М» для обозначения терминов «Сократ», «смертный» и «человек», мы недвусмысленно даем понять, что результат нашего размышления зависит не от специального значения этих выражений, а от соединяющих их абстрактных отношений.

Третьей важной функцией символов является ясное и краткое проявление формы суждений. Данная функция давно используется в математике. Так, в качестве элементарного примера можно рассмотреть различие в форме между «4х2 = 5х – 1» и «4х3 = 5х2 – 1» и тождество форм между «х + 4– у = 1» и «4х = Зу», которые можно усмотреть при первом же поверхностном взгляде. В первой паре уравнений одно является квадратным, а другое – кубическим, оба уравнения из второй пары являются линейными. Если бы подобные уравнения формулировались словами, то людям было бы не под силу осуществлять длинные цепочки умозаключений. Так, описание уравнений Максвелла в словах заняло бы несколько страниц, что укрыло бы существенные отношения между различными элементами. Адекватно введенные символы проясняют то, что является постоянным и неизменным в суждении, и то, что является лишь переменной. Неизменные свойства являются формой, или структурой, суждения.

Четвертое и значительное преимущество подобных символов – это их функция, сокращающая физические и мысленные усилия. Когда выработаны символы, многое из того, что ранее требовало концентрации и внимания, выполняется механически. Зачастую символьная запись подсказывает выводы, которые при обычных условиях не были бы замечены исследователем. Открытие отрицательных и мнимых чисел, введение

Максвеллом электрического смещения и последующее открытие эфирных волн стали прямым следствием указанного свойства символов. Именно по этой причине иногда говорится, что «при расчетах перо кажется умнее своего пользователя». Важность специально построенных символов с очевидностью проявляется именно в этой возможности использовать их в качестве исчисления.

§ 5. Исчисление классов

Развитие адекватной символьной записи наряду с открытием формальных свойств отношений позволили обобщить традиционную логику, равно как и получить мощное исчисление.

Например, операции сложения, умножения и т. д. в математических науках могут рассматриваться в терминах теории отношений. Так, операция сложения основывается на трехместном отношении. Отношение а + Ь = с связывает два слагаемых, а и Ь, с с. Данное отношение является много-однозначным, поскольку любой паре слагаемых соответствует одна, и только одна, сумма, тогда как одной сумме соответствует неопределенное число пар слагаемых. Однако если сумма и одно из слагаемых зафиксированы, то другое слагаемое однозначно определимо. Подобные трехместные отношения, присутствующие в различных видах операций, можно изучать и более подробно.

Однако нет необходимости в том, чтобы этими операциями были только обычные алгебраические операции. Операции, в целом относящиеся к типу неколичественных, были выработаны для сочетания классов, рассмотренных с их объемами.