Учение логики о доказательстве и опровержении

Аксиомой (постулатом) это положение является потому, что в «Началах» Евклида оно принимается без доказательства. И действительно: положение это утверждает, что возможно неограниченно продолжить прямую так, чтобы последняя нигде не пересекалась с данной прямой. Но совершенно очевидно, что утверждение это не может быть проверено или доказано: как бы далеко мы ни продолжали прямую, продолжение её будет для нашего наглядного представления ограниченным. В лучшем случае можно сказать, что в тех пределах, в каких прямая продолжена нами, она сохраняет параллельность данной прямой. Но сохранит ли она параллельность и при дальнейшем, ещё нами не воспринятом неограниченном её продолжении,— это остаётся недоказанным.

Аристотель, создавший не только науку логики в целом, но и разработавший, в частности, логическое учение о доказательстве, отличал аксиомы от другого вида недоказываемых наукой положений — от постулатов. Под аксиомами (αρώματα) он разумел такие недоказываемые в данной науке положения, которые в сравнении с другими недоказываемыми положениями являются, во-первых, наиболее общими и, во-вторых, представляют необходимое условие доказательства. Так, в «Метафизике» (кн. III, гл. 2, 997а 5—13) Аристотель говорит, что «не может существовать доказательства для всего», что «все доказывающие науки применяют аксиомы» и что «аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего» (Κάρολου γαρ μάλιστα αι πάντων άρΧαι τα αξιώματα έστιν).

Под постулатами (τα αιτήματα, буквально — «требования») Аристотель понимал такие положения, которые, безотносительно к их доказуемости, вводятся в начала науки без доказательства, хотя бы они представлялись учащемуся противными его мнению[17]. Именно потому, что постулат может быть противным мнению учащегося, он вводится в качестве требования: это — положение, которое должно быть принято для того, чтобы были приняты все вытекающие из него выводы.

Постулаты Аристотель отличал от аксиом, но не противопоставлял их аксиомам.

В развитии античной математики после Аристотеля были выработаны три точки зрения по вопросу о различии между аксиомами и постулатами. Эти три точки зрения рассматривает математик и философ Прокл (V век н. э.) в своих «Комментариях» к «Началам» Евклида.

Согласно первой из этих точек зрения, аксиомы — не- доказываемые положения, на которые опираются доказательства теорем, а постулаты — недоказываемые положения, на которые опираются построения в геометрии.

Согласно второй точке зрения, аксиомы — допущения, общие для всех наук, а постулаты — специальные допущения, принятые в геометрии. Так, у Евклида в качестве аксиом рассматривались, например, такие положения: «равные одному и тому же равны и между собой», «если к равным прибавляются равные, то и целые будут равные» и т. д. В качестве постулатов у Евклида рассматриваются, например, такие положения: «от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию», «из всякого центра и всяким раствором <циркуля> <может быть> описан круг» и т. д.

Зачатки этого понимания различия между аксиомами и постулатами имелись уже у Аристотеля: «Из тех <на- чал>,— читаем у Аристотеля,— которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие — общи всем...»[18].

Согласно третьей точке зрения, постулаты — в отличие от аксиом — суть «требования», выдвигаемые преподающим науку или руководителем диспута. Постулаты должны быть приняты учащимися или участниками диспута, несмотря на то, что для них требования эти могут представляться не безусловно бесспорными[19].

Впоследствии возобладал взгляд, согласно которому аксиомами должны называться недоказываемые положения не специальные, имеющие силу для всех наук, постулатами же — недоказываемые положения более частные, относящиеся к области какой-нибудь особой специальной науки. Согласно этому взгляду, положение о том, что две величины, равные порознь третьей, равны между собой, рассматривалось в силу его всеобщности как типичная аксиома. Напротив, положение о параллельных вследствие его специально геометрического характера толковалось как типичный постулат.

Распределение аксиом и постулатов в «Началах» Евклида не вполне соответствует этому различению. Хотя ряд постулатов Евклида принадлежит к области геометрия, а ряд его аксиом — к области более общего учения о величинах, последовательное разграничение аксиом и постулатов по степени их специального характера оказывается невозможным. Так, 7-я аксиома первой книги «Начал», утверждающая, что «совмещающиеся друг с другом равны между собой», есть, конечно, аксиома геометрии. Положение о параллельных, принадлежащее к области геометрии, помещалось Евклидом в числе аксиом (11-я аксиома первой книги«Начал») и только позднейшими комментаторами и издателями стало рассматриваться как постулат (5-й постулат той же книги).