Учение логики о доказательстве и опровержении

Но можно взять другую систему или группу аксиом геометрии. Можно выбрать такую группу аксиом, что постулат о параллельных, который в системе геометрии

Евклида является независимой аксиомой, будет в этой другой системе теоремой, выводимой из принятых в этой системе аксиом.

Таким образом, аксиоматическое значение некоторых положений науки не есть безусловное свойство этих положений. Разница между аксиомой и теоремой — не безусловная. Положение, которое в одной системе науки будет аксиомой, оказывается теоремой в системе науки с другой совокупностью аксиом. И наоборот: положение, доказываемое в данной системе науки как её теорема, не доказывается, а принимается в качестве аксиомы в системе науки с другой совокупностью аксиом.

В конечном счёте выбор той или другой группы аксиом (или постулатов) в качестве принятой в науке системы оснований её доказательств обусловливается и оправдывается не самоочевидностью этих оснований, а всей суммой результатов, к которым приводят доказательства науки, опирающиеся на принятые аксиомы и постулаты. Только содержательная плодотворность результатов, полученных с помощью принятой в данной системе науки группы аксиом, составляет основание для их выбора. Тем самым выбор оснований для всей системы доказательств науки — выбор аксиом или постулатов — связывается с проверкой этих оснований по их результатам, связывается с материальной практикой, с опытом.

Таким образом, с точки зрения современной логики, опирающейся на данные новейшей науки, аксиомами называются положения, не доказываемые в данной науке и играющие в ней — наряду с определениями основных понятий — роль допускаемых оснований всех доказываемых в науке истин. Роль эту аксиомы играют не в силу своей безусловной очевидности, хотя некоторые аксиомы представляются очевидными, и тем более не в силу своей априорности, так как никаких априорных положений нет ни в какой науке. Аксиомы данной науки выбираются в качестве аксиом. Однако основанием для выбора является не субъективный произвол, не «удобство», не «соглашение», а способность выбранной группы аксиом доказать всю совокупность известных истин науки, оправданных в своих результатах, т. е. в конечном счёте удостоверенных в своей истинности материальной практикой.

То, что в аксиомах не следует видеть истины безусловно недоказуемые, было не раз показано классиками марксизма-ленинизма. Энгельс говорит, что, например, аксиомы математики «доказуемы диалектически, поскольку они не чистые тавтологии»[21]. И точно также Ленин поясняет в конспекте «Науки логики» Гегеля, что фигуры силлогизма могли получить значение аксиом только после того, как значение это было доказано в миллиардах случаев опытом: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»[22].

Таким образом, и аксиомы как части оснований доказательства отнюдь не «возвышаются» над опытом, отнюдь не «предшествуют» опыту, а составляют результат материальной практики и опыта, лежащего в основе доказательства.

Все указанные выше требования, предъявляемые при выборе аксиом, имеют силу, разумеется, только в отношении тех наук, которые имеют в числе своих оснований аксиомы (постулаты) или, как говорят, допускают аксиоматическое построение. Таковы математика, теоретическая физика. Но существует обширный класс наук, в которых аксиоматическое построение неприменимо. В этих науках аксиомы (постулаты) не входят в число оснований науки» Такова, например, история.

г) Доказанные ранее положения науки как основания доказательства. Непосредственные и предшествующие основания доказательства. Начальные основания

В число оснований доказательств, кроме положений об удостоверенных фактах, на которые опирается доказываемый тезис, кроме определений основных понятий науки и аксиом, входят ещё доказанные ранее положения науки, необходимые для обоснования тезиса.

Так, при доказательстве теоремы евклидовой геометрии о сумме внутренних углов плоского треугольника в качестве оснований доказательства используют не только определения понятий, например понятий о параллельных, о смежных углах о внутренних накрест лежащих углах, о соответственных углах, и не только аксиомы, например аксиому (постулат) Евклида о параллельных. В качестве оснований доказательства этой теоремы используют также доказанную до неё теорему о равенстве суммы смежных углов двум прямым.

Рассматривая доказательство, нетрудно убедиться, что ранее доказанные положения, на которые опирается доказываемый тезис, используются в ходе доказательства либо непосредственным, либо опосредствованным образом.