Учение логики о доказательстве и опровержении

Но из того, что определения — в качестве определений — не доказываются, а просто формулируются, отнюдь не следует, будто определения принимаются произвольно или представляют простые «соглашения» относительно смысла тех или иных терминов. Чтобы определение было пригодным для науки, необходимо, чтобы определяемый предмет существовал в самой действительности. Поэтому и в математических науках, и в естествознании, и в науках общественных принятие определения всегда предполагает, что может быть доказано существование характеризованного посредством определения предмета. Условно лишь словесное обозначение предмета (свойства, явления, отношения), но не сам предмет как существующий в действительности. Существование же определяемого предмета может быть и должно быть доказано. Должно быть доказано также соответствие определения определяемому предмету.

Определение понятий необходимо, так как оно — и только оно — даёт возможность во всех рассуждениях, посредством которых в доказательстве совершается переход от доказанного к доказываемому, мыслить входящие в эти рассуждения основные понятия науки в одном и том же содержании и, таким образом, мыслить посредством этих понятий одни и те же предметы.

Наличие определений в составе оснований не значит, однако, будто все определения, необходимые для данного доказательства, непременно формулируются в самом данном доказательстве. Обычно определения формулируются не в каждом данном доказательстве, а в начале изложения науки или, по крайней мере, того раздела науки, к которому относится данное доказательство. Так, в «Началах» Евклида определениями основных понятий начинается каждая книга этого труда. При этом определения в каждой следующей книге новые и не повторяют определений, данных в предыдущих книгах. Но, не появляясь вновь в каждом данном доказательстве, определения понятий, необходимые для точного проведения данного доказательства, непременно им предполагаются и всегда могут быть найдены в соответствующем месте изложения.

Однако из того, что в число оснований, общих для всех доказательств данной науки, входят определения основных понятий данной науки, ещё не следует, будто определению подлежат все без исключения понятия данной науки. И действительно: определить — значит свести неизвестное к известному, сложное к простому. Но есть предметы настолько простые и настолько всем известные, что определить понятия об этих предметах невозможно. Всякая попытка такого определения приводит или к тому, что в определяющем повторяется определяемое (круг в определении), или к тому, что до определения понятное и ясное после определения становится непонятным и неясным.

Таким образом, задача науки в отношении определения понятий, входящих в основания доказательства, состоит в том, чтобы избежать двух противоположных ошибок: 1) не оставить не определёнными те понятия, которые должны быть определены, и 2) не пытаться понапрасну определять те понятия, которые по своей крайней простоте не могут быть определены.

Это правильное понимание задачи определения оснований доказательства хорошо сформулировал Паскаль. В небольшой работе «О геометрическом уме» (De l’esprit géométrique) Паскаль писал: «... порядок, совершеннейший у людей, состоит не в том, чтобы всё определять и всё доказывать, и не в том также, чтобы ничего не определять и ничего не доказывать; но в том, чтобы, держась среднего пути, не определять вещей, ясных и понятных всем людям, но определять все остальные, и не доказывать всех вещей, известных людям, но доказывать все остальные»[15].

Поэтому число определений, входящих в основания доказательств данной науки и формулируемых в начале её изложения, обычно бывает невелико и без нужды не должно быть увеличиваемо.

в) Аксиомы и постулаты как основания доказательства

Положения об удостоверенных фактах и определения входят в число оснований самых различных наук: естественных и общественных.

В математике, механике и теоретической физике кроме определений и удостоверенных фактов в число оснований доказательства входят ещё аксиомы, или постулаты. Так называются положения, которые предполагаются истинными, но в пределах каждой науки в качестве истинных не доказываются.

Так, доказательство теоремы евклидовой геометрии о равенстве суммы внутренних углов плоского треугольника двум прямым опирается не только на ранее доказанную теорему о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым, но, кроме того, на теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих и соответственных углов, которые в свою очередь опираются на положение, согласно которому через данную точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести одну — и притом только одну — прямую, которая ни при каком продолжении её в обе стороны от данной точки не пересечётся с данной прямой. Положение это уже не теорема, а аксиома (постулат). В «Началах» Евклида оно дано (в редакции, отличающейся от приведённой в тексте) в качестве 11-й аксиомы первой книги[16].