Читаем Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика полностью

Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образовано всеми окружностями с центром в точках (р/q, 1/(2q2)) и радиусом 1/(2q2).

Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пересекаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.

Окружности Форда, соответствующие дробям на интервале от 0 до 1, знаменатель которых меньше или равен 7. Так, изображенные на иллюстрации окружности соответствуют следующим дробям: 0, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1.

Аналогичные расчеты показывают, что окружности Форда, соответствующие дробям p/q и Р/Q, касаются, если числа р·Q и Р·q отличаются на единицу; верно и обратное.

Еще один фрагмент окружностей Форда. Изображенные на рисунке окружности соответствуют дробям между 1/2 и 1 со знаменателем, меньшим либо равным 11.

Также можно относительно просто доказать, что если окружности, соответствующие дробям p/q и Р/Q, касаются, то окружности Форда, соответствующие дробям

будут касаться окружности, соответствующей дроби p/q. Кроме того, указанные дроби описывают все окружности Форда, касающиеся окружности, которая соответствует дроби p/q.

Построение окружностей Форда, касательных данной.

Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающиеся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно приближаются к дроби p/q, пока не «кусают» ее (см. рисунок выше и врезку ниже), как если бы они обладали столь же огромным аппетитом, что и донья Роса из романа Селы.

* * *

ПРОЖОРЛИВЫЕ ОКРУЖНОСТИ ФОРДА

Представленные ниже простые расчеты должны убедить читателя, что окружности Форда, касающиеся данной окружности, соответствующей дроби p/q, неограниченно приближаются к точке, соответствующей этой дроби. Рассмотрим касающиеся окружности, расположенные слева от дроби p/q. Они соответствуют дробям (Рn·p)/(Q + n·q), где n — любое натуральное число. Теперь достаточно показать, что разность между этими дробями и p/q неограниченно уменьшается с увеличением n:

Так как окружности, соответствующие дробям p/q и P/Q, касаются, то, как мы отмечали выше, числа р·Q и Р·q будут последовательными. Как следствие, их разность будет равна 1 или -1. С учетом этого предыдущее равенство примет вид:

Так как n расположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p/q и (Рn·p)/(Q + n·q) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом n, будет равна нулю.

* * *

Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплощением враждебности сытого к голодному».

Мартин Марко, или рациональное приближение иррациональных чисел

Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии второго нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррациональных чисел.

Перейти на страницу:

Все книги серии Мир математики

Математики, шпионы и хакеры
Математики, шпионы и хакеры

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука
Когда прямые искривляются
Когда прямые искривляются

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное