Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образовано всеми окружностями с центром в точках (
Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пересекаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.
Аналогичные расчеты показывают, что окружности Форда, соответствующие дробям
Также можно относительно просто доказать, что если окружности, соответствующие дробям
будут касаться окружности, соответствующей дроби
Аналогично простые расчеты показывают, что окружности Форда, касающиеся данной, полностью окружают ее. Если бы мы могли изобразить на иллюстрации бесконечное множество этих окружностей, то увидели бы, что они бесконечно приближаются к дроби
* * *
ПРОЖОРЛИВЫЕ ОКРУЖНОСТИ
Представленные ниже простые расчеты должны убедить читателя, что окружности Форда, касающиеся данной окружности, соответствующей дроби p/q, неограниченно приближаются к точке, соответствующей этой дроби. Рассмотрим касающиеся окружности, расположенные слева от дроби p/q. Они соответствуют дробям (Р + n·p)/(Q + n·q), где n — любое натуральное число. Теперь достаточно показать, что разность между этими дробями и p/q неограниченно уменьшается с увеличением n:
Так как окружности, соответствующие дробям p/q и P/Q, касаются, то, как мы отмечали выше, числа р·Q и Р·q будут последовательными. Как следствие, их разность будет равна 1 или -1. С учетом этого предыдущее равенство примет вид:
Так как n расположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p/q и (Р + n·p)/(Q + n·q) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом n, будет равна нулю.
* * *
Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплощением враждебности сытого к голодному».
Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии второго нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррациональных чисел.