Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

«Довольствия, которые доставляет красота, — писал Фернандо Саватер, — наименее „зоологические“ из всех». Так, было бы неразумно полагать, что собака или горилла оценят эстетику готического собора или картины Веласкеса. Последователи Сантаяны утверждают, что существует тесная взаимосвязь между эстетическими ценностями и другими жизненно важными представлениями человека. Витгенштейн возвел эту взаимосвязь в абсолют, сформулировав уравнение: «Этика равна эстетике». В любом случае, именно этот союз красоты и разума делает математику вместилищем эстетической ценности.

Сплетение судеб

Как мы уже говорили в предисловии, цель этой книги — не развернуть сухое и скучное обсуждение эстетической ценности математики, а продемонстрировать на примерах некоторые основные принципы математической красоты. К этому мы сейчас и приступим.

Вы уже знаете, как сложно увидеть красоту, сокрытую в математических рассуждениях. Похожие сложности возникают в попытках оценить эстетику литературы. Однако литература описывает природу человека, что несколько упрощает ее восприятие: эмоции намного ближе, понятнее и поэтому интереснее нам, чем холодность прямоугольного треугольника или экзотичность простого числа. Однако математика также имеет эмоциональную составляющую, причем более интенсивную и важную, чем можно предположить. Об этом мы поговорим в следующей главе.

Мы, математики, должны уметь использовать эмоции в той же степени, что и писатели, и переводить на математический язык, пусть и с необходимыми оговорками, некоторые приемы из арсенала романистов. Расскажем об одном из таких приемов.

Одна из главных целей любого романа и, возможно, его основное достоинство заключается в том, чтобы показать богатство, разнообразие и сложность человеческой природы. В XX веке возник стилистический прием, позволяющий достичь этой цели, — это изображение человеческого муравейника, в который неизбежно превращается любой большой город, и плотной сети взаимоотношений между его жителями. Так родились романы с великим множеством персонажей, изображавшие сложность кишащего людьми мегаполиса; эти персонажи в романе, кажется, никак не пересекаются друг с другом, но постепенно скальпель автора рассекает реальность и обнаруживает плотную сеть удивительных взаимосвязей между героями. К жемчужинам этого стиля принадлежат «Манхэттен» (1925) американского писателя Джона Дос Пассоса и «Улей» (1951) испанского писателя Камило Хосе Села, лауреата Нобелевской премии по литературе, в котором описывается 296 воображаемых и 50 реальных персонажей, хотя большинство из них появляются на сцене лишь ненадолго.

В математике достаточно часто случается так, что различные законы и теоремы кажутся далекими друг от друга, однако в итоге между ними обнаруживается неразрывная связь. Математика представляет собой единое целое, и часто всего один взгляд под правильным углом или одна блестящая идея позволяют связать и объединить результаты, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой. Как и в романах «Манхэттен» и «Улей», демонстрация этого богатства скрытых взаимосвязей позволяет ярче выразить красоту математики. Хорхе Вагенсберг в своей книге «Интеллектуальное наслаждение» отмечает, что поиск общего принципа в различном — важнейший источник эстетического удовольствия: «Понять, что две вещи, по сути, различные, есть в конечном итоге одно и то же, — основа понимания и редкого интеллектуального наслаждения». Оставшуюся часть этой главы мы посвятим примеру, доказывающему истинность этого суждения.

Касательные окружности, рациональное приближение, диофантовы уравнения и роман «Улей»

Среди великого изобилия законов, теорем и гипотез, населяющих необозримый мир элементарной математики, выберем случайным образом трех главных героев нашей истории. Как и на страницах «Улья», эти персонажи кажутся настолько далекими друг от друга, насколько это позволяет невероятная широта и многообразие математики.

Однако в конечном счете отсутствие связей оказывается мнимым.

Первый персонаж нашей истории живет в старом квартале геометрии: это построение, в котором участвуют касательные окружности. Для удобства я дам имена всем трем нашим персонажам. Не думаю, что читатель очень удивится, когда узнает, что я дал им имена героев романа «Улей». Так, я назову нашего первого героя доньей Росой. В романе Селы донья Роса — хозяйка кафе «Утеха», где происходит действие многих эпизодов романа. «Мир для доньи Росы, — пишет Села, — это ее кафе и все прочее, что находится вокруг ее кафе. Говорят, что, когда приходит весна и девушки надевают платья без рукавов, у доньи Росы начинают поблескивать глазки. Я думаю, все это болтовня: донья Роса не выпустит из рук серебряной монеты ни ради каких радостей жизни. Что весной, что осенью. Самое большое удовольствие для нее — таскать взад-вперед свои килограммы вот так, прохаживаясь между столиками»[6].