Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Второе действующее лицо нашей истории живет в рабочем районе приближений: это метод, позволяющий верно определить приближенное значение произвольного числа, например √2 или π, с помощью дробей. Этого персонажа я назову Мартин Марко. В романе «Улей» Мартин Марко — поэт-идеалист левых взглядов, который остался вне игры, когда закончилась гражданская война: «Мартин Марко, бледный, изможденный, в обтрепанных брюках и потертой куртке, прощается с официантом, поднеся руку к полям своей убогой, грязной серой шляпы». Мартин Марко выживает только благодаря заботам друзей и старых знакомых, питается жареными яйцами, которые тайком от мужа готовит ему сестра Фило, и ночует в свободных кроватях отдыхающих проституток борделя, который держит старая подруга его матери.

Третий и последний герой нашей истории — житель самого дорогого и эксклюзивного района математики — теории чисел. Это диофантово уравнение

p² + q² + r² = 3·p·q·r,

точнее, тройки натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению. Этого героя я назову Хулитой в честь героини романа, которую Села изображает несколько ветреной и легкомысленной: «Она красит волосы в рыжий цвет. Со своей пышной волнистой шевелюрой она похожа на Джин Харлоу». Хулита — племянница доньи Росы и встречается со своим ухажером в апартаментах доньи Селии. Возможно, многим пуристам из мира математики покажутся неуважительными подобные параллели между математическими понятиями и героями романа Селы.

Не отрицаю, что стремление сравнить геометрию или даже ее раздел с коварной доньей Росой, полной, нечистоплотной и эгоистичной женщиной, или сравнить рациональное приближение иррациональных чисел с мечтателем Мартином Марко, олицетворением всех неудачников, или знаменитое диофантово уравнение — с модницей Хулитой Леклерк де Моисее не лишено концептуального риска. Однако и подобные сравнения, и сопутствующий им риск — важнейший элемент игры, которую я предлагаю читателю.

Биография всех наших героев берет начало во времена древних греков, однако, как вы увидите далее, это совпадение будет не единственным и даже не самым важным. Как и в любом романе, совпадения в математике не случайны.

Донья Роса, или построения с касательными окружностями

Начнем рассказ с доньи Росы, то есть с построений с касательными окружностями.

О великом греческом геометре Аполлонии нам практически ничего не известно. Мы знаем лишь, что он родился в Перге примерно в 262 году до н. э., написал несколько важных книг, большинство из которых не сохранились, и был известен под прозвищем «великий геометр». Из всех его трудов нас интересуют «Касания» — эта книга считается утраченной и о ней известно лишь по рассказам Паппа Александрийского, датируемым III–IV веками. В «Касаниях» Аполлоний приводит решение задачи, которая позднее получила название задачи Аполлония: построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных точек, прямых или окружностей. И построение искомых окружностей, и число решений зависит от исходных элементов задачи (точек, прямых или окружностей) и их относительного расположения. Аполлоний, по всей видимости, привел решения для всех возможных случаев.

Первые построения с касательными окружностями возникают в случае, когда исходными элементами задачи являются три окружности. В частности, если три данные окружности касаются, задача имеет два решения: в одном из них построенная окружность будет располагаться внутри, в другом — снаружи.

Задача Аполлония в случае, когда исходными тремя фигурами являются окружности (слева), имеет два решения (справа).

В самом общем случае, когда три данные окружности не касаются друг друга, задача имеет восемь разных решений.

Для трех данных окружностей, не касающихся друг друга (слева), задача Аполлония имеет восемь решений (на рисунке в центре представлены два из них, на рисунке справа — третье).

Из множества вариантов расположения касательных окружностей рассмотрим один, особенно простой и элегантный. Окружности, расположенные таким образом, называются окружностями Форда и строятся по следующим правилам. Отметим на прямой линии значения дробей (или рациональные числа — так мы, математики, любим называть дроби), как показано на иллюстрации.

Все дроби вида р/q, которые мы рассмотрим, являются несократимыми, то есть р и q не имеют общих делителей, при этом q — положительное число. К примеру, мы будем рассматривать не дробь 5/15, а эквивалентную ей несократимую дробь 1/3. В точках, соответствующих каждой дроби p/q, мы поместим окружность радиуса 1/(2q²), которая будет касаться прямой.