Читаем Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика полностью

С учетом этого немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (женатый на сестре композитора Феликса Мендельсона) в 1842 году показал, что иррациональное число всегда можно представить в виде дроби так, что ошибка будет меньше величины, обратной квадрату знаменателя дроби.

Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859), после смерти Гаусса сменивший его на посту главы кафедры в Гёттингене в 1855 году.

Доказательство этого утверждения элементарно и основано на «принципе ящиков», позднее названном в честь Дирихле. Принцип Дирихле представляет собой простое отражение здравого смысла: если мы хотим поместить определенное число голубей в ящики, при этом голубей больше, чем ящиков, то в конечном итоге в одном из ящиков окажется больше одного голубя. Принцип Дирихле полезен при доказательстве определенных математических результатов, среди которых — теорема Дирихле о рациональном приближении. Эта теорема звучит так: для данного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |a — p/q| < 1/q2. Доказательство этой теоремы приведено на следующей странице. Этот результат существенно точнее, чем тот, о котором мы говорили выше, так как с увеличением число 1/q2 уменьшается намного быстрее, чем 1/(2·q). Результат Дирихле нельзя улучшить относительно второй степени 1/q. Это тесно связано с разделением иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные.

Рассмотрим √2: это иррациональное число, однако его можно достаточно просто описать последовательностью целых чисел (…, —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…)» так как является решением уравнения с целыми коэффициентами х —2 = 0. Числа, которые представляют собой решения уравнения с целыми коэффициентами (вне зависимости от степени уравнения), называются алгебраическими.

* * *

ДИРИХЛЕ И «ПРИНЦИП ЯЩИКОВ»

Доказательство принципа Дирихле выглядит следующим образом. Рассмотрим произвольное иррациональное число а и выберем некоторое натуральное число N. Теперь рассмотрим числа а, 2·а, 3·а…, N·а и (N + 1)·а. Этот список содержит N + 1 число. Для каждого из них (обозначим их в общем виде k·а) найдется натуральное число рk такое, что разность k·арk будет лежать на интервале от 0 до 1. К примеру, если а = √5 = 2,236…, то 2·а = 4,472… и р2 будет равно 4.3·а = 6,708…, р3 будет равно 6 и так далее. Теперь расположим числа от 0 до 1 в N ящиков: в первом ящике окажутся числа от 0 до 1/N, во втором — от 1/N и 2/N и так далее. В последнем ящике окажутся числа от (N — 1)/N до 1. Так как наш список чисел k·арk, k = 1, …, N + 1 содержит N + 1 число, лежащее на интервале от 0 до 1, и мы расположили числа от 0 до 1 в разных ящиках, то, согласно принципу Дирихле, в одном из этих ящиков будет больше одного числа. Допустим, что числа k·арk и n·ар находятся в одном ящике. Очевидно, что разница между двумя числами в одном ящике меньше 1/N. Отсюда следует, что |k·арk — (n·арn)| < 1/N. Если теперь мы введем обозначения kn и р = рkрn, то получим: |q·ар| < 1/N, или |аp/q| < 1/(q·N). Так как и k, и меньше + 1, получим, что q меньше N. Учитывая, что это число можно считать положительным, имеем |аp/q| < 1/q2. Так как число а иррационально, а N — произвольное натуральное число, неравенство |аp/q| < 1/(q·N) гарантирует, что мы можем найти бесконечно много различных дробей вида p/q, удовлетворяющих неравенству |аp/q| < 1/q2.

* * *

Перейти на страницу:

Все книги серии Мир математики

Математики, шпионы и хакеры
Математики, шпионы и хакеры

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука
Когда прямые искривляются
Когда прямые искривляются

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное