Читаем Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов полностью

ГРАФЫ И ИСКУССТВО

С рождением абстрактного искусства художники и скульпторы начали постепенно переходить от изображения людей, предметов и пейзажей к анализу форм и цветов, представляющих формальные абстрактные связи между вещами и явлениями. Произошла смена парадигмы: идеал эпохи Возрождения, где картина являла собой окно в реальный мир, сменился сюрреалистичным представлением: «картину создает зритель». Начиная с работ, например, Василия Кандинского (1866–1944) и Тео ван Дусбурга (1883–1931), имевших большое влияние, основные цвета и базовые геометрические фигуры начали набирать силу в искусстве, пробуждая эмоции, изображая красоту, при этом не отражая реальность. Точки и линии (и снова графы!) стали основными элементами искусства.

«Диссонансная контркомпозиция № 16» Тео ван Дусбурга.

<p>Глава 2</p><p>Графы и цвета</p>

Иллинойс зеленый, а Индиана розовая… Я сам видел на карте, что она розовая.

Марк Твен

В этой главе мы приглашаем читателя подумать над одной задачей теории графов, которая кажется очень простой. Это задача о раскраске карт. Вы увидите, как одна занимательная задача иногда может вызвать подлинный прорыв в науке.

Карты и цвета

Большинство географических карт можно интерпретировать как графы, вершинами которых являются точки, где сходятся три линии и более, а ребрами — границы стран и территорий. Составители карт пытались раскрасить их так, чтобы разные страны и территории были окрашены в разные цвета. Учитывая число стран и ограниченное количество цветов, которые использовались при цветной печати, требовалось раскрасить карты так, чтобы в разные цвета были окрашены только страны с общими границами. Естественно, возник вопрос: какое минимальное число цветов необходимо, чтобы все страны с общими границами были окрашены в разные цвета? (Подразумевается, что точка не является границей.) Так как существует множество различных карт (карты стран, регионов, промышленных районов и так далее), то очевидно, что задачу нужно сформулировать в общем виде с помощью графов. Иными словами, нужно рассматривать карты, описывающие произвольный плоский граф.

Сначала обратимся к следующим фигурам. Для раскраски каждой из них в соответствии с заданными правилами требуется 1, 2, 3 и 4 цвета соответственно.

Заметим, что если мы также захотим раскрасить и внешнюю область, то нам понадобится соответственно 2, 3, 4 и… снова 4 цвета.

Следующие фигуры более сложны.

Сразу же становится понятно, что для их раскраски достаточно четырех цветов.

Обратите внимание, что в обоих случаях внешнюю область также можно раскрасить одним из этих четырех цветов (определите, каким именно). Разумеется, решение задачи о раскраске графа не изменится, если мы заменим исходный граф изоморфным ему.

Раскраска графа в два или три цвета

Как выглядят карты (плоские графы), для раскраски которых достаточно всего двух цветов? А трех цветов? Ответ на эти вопросы нетруден, и его можно найти довольно быстро. Обратимся к теореме о двух красках, которая гласит: «Карту можно раскрасить двумя цветами тогда и только тогда, когда в соответствующем ей графе все вершины имеют четную степень».

Любопытно, что если карту можно раскрасить двумя цветами, то все вершины соответствующего графа будут иметь четную степень. Если в нем будет хотя бы одна вершина с нечетной степенью, то как минимум одна грань графа будет граничить с двумя гранями и для раскраски понадобится уже три цвета. Чтобы доказать обратное утверждение, нужно выполнить несколько действий. Сначала докажем, что если мы проведем на плоскости n линий случайным образом, то полученную карту можно будет раскрасить всего двумя красками (вспомните, например, шахматную доску).

Используем метод доказательства по индукции, который заключается в том, что мы докажем это утверждение для n = 1 и посмотрим, будет ли верным это утверждение для n + 1, если оно верно для n.

Перейти на страницу:

Все книги серии Мир математики

Математики, шпионы и хакеры
Математики, шпионы и хакеры

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука
Когда прямые искривляются
Когда прямые искривляются

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное