Позднее появились новые задачи о раскраске карт. Так, Герберт Тейлор предложил обобщить проблему четырех красок следующим образом: сколько красок необходимо, чтобы раскрасить карту, в которой все страны и территории состоят из
* * *
БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ЦВЕТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ
Если вместо плоских карт мы будем рассматривать геометрические тела в пространстве, которые нужно раскрасить так, чтобы тела с общими гранями были окрашены в разные цвета, нас ждет большой сюрприз. В этом случае потребуется не четыре и не шесть, а бесконечное количество цветов, что показано на рисунках К. Алсины и Р. Нельсена, выполненных в 2006 году.
ЗАДАЧА
Какое минимальное число красок необходимо, чтобы раскрасить плоскость так, чтобы любые две точки, расстояние между которыми равно единице, находились бы на областях разного цвета? Лео Мозер подтвердил, что для этого необходимо четыре краски. Но достаточно ли?
* * *
Подобно раскраске граней геометрического графа можно говорить о раскраске его ребер или вершин.
Раскраска вершин V(
Если С имеет как минимум одно ребро, то X(
Рассмотрим следующие графы:
Если
Используя принцип двойственности, можно переходить от одного типа графов к другому так, что цвета граней одного графа станут цветами вершин другого. Интересно, что вместо цветов можно использовать лингвистические категории или атрибуты. В этом случае группы вершин одного цвета или категории образуют классификацию. Это происходит при формировании списков.
При раскраске вершин графа обычно используется строгий алгоритм: вершины нумеруются по порядку, первой вершине в списке присваивается первый цвет, затем цвет присваивается второй вершине (если она смежна первой, цвет меняется, если нет, используется прежний цвет) и так далее. Однако следует проявлять осторожность: результатом работы этого алгоритма не всегда будет хроматическое число.
Следовательно, чтобы найти минимально возможное число цветов, результат этого алгоритма понадобится пересмотреть.
На следующих рисунках изображен граф, соответствующий кубу, который с помощью вышеописанного алгоритма был раскрашен в четыре цвета. Однако существует красивое решение, позволяющее раскрасить этот же граф всего двумя красками.
По сути, вышеописанный алгоритм гарантирует лишь то, что число различных цветов не будет превышать максимальную степень вершин графа плюс один. Поиск эффективных алгоритмов раскраски графа — нетривиальная задача.