Читаем Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов полностью

ДЕРЕВЬЯ И ВЕРОЯТНОСТИ

При анализе вероятностей различных событий (например, в играх) возможные альтернативные исходы и соответствующие вероятности часто представляют в форме дерева, где вершины соответствуют возможным исходам, а ребра — значениям вероятностей возможных исходов. Соответствующие расчеты выполняются на основе дерева. На рисунке представлено дерево, соответствующее игре, в которой нужно бросить сначала монету, затем — кубик. В теории игр, которая широко применяется в экономике, подобные представления используют очень часто.

Для расчета вероятностей нужно четко представлять все возможные исходы.

* * *

У. УИНГФИЛД И А. А. МАРКОВ: ТЕННИС И ТЕОРИЯ ГРАФОВ

Уолтер Уингфилд (1833–1912) запатентовал игру под названием теннис в феврале 1874 года. Андрей Андреевич Марков (1856–1922) занимался изучением последовательностей случайных событий, которые позднее стали называться цепями Маркова. Цепь Маркова представляет собой ориентированный граф, вершинам которого соответствуют состояния, а дугам — переходы из одного состояния в другое в зависимости от вероятности исходного события, но не всей последовательности предшествующих событий. Уингфилда и Маркова объединяет работа А. Л. Садовского и Л. Е. Садовского «Математика и спорт», в которой цепи Маркова используются для анализа теннисных партий. Так, на рисунке вероятности возможных исходов для каждого события соответственно равны 0,6 и 0,4.

* * *

Рассмотрим задачу, которую можно решить с помощью деревьев. Даны городов A1, А2Аn. Зная затраты на установление сообщения между каждой парой городов (стоимость строительства дорог, прокладки водо- и газопровода, линий электропередачи, телефонных линий), определите, как можно соединить города самым дешевым способом. Очевидно, что сеть «экономических связей» будет деревом, так как все города должны быть связаны друг с другом и не должно существовать циклов. Если бы в этой сети существовал цикл, можно было бы удалить одно из его ребер и все города по-прежнему были бы соединены между собой, но уже при меньших затратах.

Следовательно, дерево связей между городами будет иметь n — 1 ребро. Соединим два города, для которых стоимость прокладки всех коммуникаций будет наименьшей. Затем соединим один из них с третьим городом, для которого стоимость коммуникаций будет минимальной, и так далее. Как называется множество различных графов, которые являются деревьями?

Наверное, вы уже догадались: такое множество называется лесом. Вопреки известной пословице, в теории графов за деревьями лес виден.

* * *

Перейти на страницу:

Все книги серии Мир математики

Математики, шпионы и хакеры
Математики, шпионы и хакеры

Если бы историю человечества можно было представить в виде шпионского романа, то главными героями этого произведения, несомненно, стали бы криптографы и криптоаналитики. Первые — специалисты, виртуозно владеющие искусством кодирования сообщений. Вторые — гении взлома и дешифровки, на компьютерном сленге именуемые хакерами. История соперничества криптографов и криптоаналитиков стара как мир.Эволюционируя вместе с развитием высоких технологий, ремесло шифрования достигло в XXI веке самой дальней границы современной науки — квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков была и остается математика.Эта книга — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука
Когда прямые искривляются
Когда прямые искривляются

Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий. Каким образом пересекаются параллельные прямые? В каком случае сумма внутренних углов треугольника может составить больше 180°? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в данной книге.

Жуан Гомес

Математика / Образование и наука

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное