Теория струн и скрытые измерения Вселенной

К началу 1970-х годов уже успело пройти не одно десятилетие с того момента, как Эудженио Калаби обнаружил свою «гору» — впрочем, мы по-прежнему нуждались в подтверждении того, что эта гора действительно была горой, а не, скажем, земляным холмиком. Я, например, вовсе не собирался безоговорочно верить тем неожиданным утверждениям, которые он представил перед нами. Причин для скептицизма, как я уже говорил, было немало. Прежде всего, многие сомневались в возможности существования компактных неограниченных многообразий с нетривиальной риччи-плоской метрикой (отличных от неинтересных нам плоских торов). В то время не было известно ни одного примера подобного многообразия, тогда как этот парень, Калаби, утверждал, что число многообразий данного типа огромно (или даже бесконечно).

Кроме того, Калаби, по словам Роберта Грина, в своей гипотезе воспользовался общим топологическим условием, чтобы получить частный геометрический вывод, который при этом должен быть верен для всего пространства. Для реальных многообразий, у которых отсутствует сложная структура, это неверно, однако для комплексных многообразий, к которым относится гипотеза, это в принципе возможно.[46] Говоря более конкретно, с точки зрения Грина, гипотеза Калаби утверждает, что начиная со случая одного комплексного измерения (и двух вещественных), исходя из общей топологии и формы, где средняя кривизна равна нулю, можно найти метрику или геометрию, где кривизна везде равна нулю. Для случая высоких размерностей гипотеза Калаби конкретно указывает на кривизну Риччи (которая совпадает с гауссовой кривизной для двух вещественных измерений, но отличается от нее, если размерность выше двух), а условие равенства нулю средней кривизны Риччи заменяется условием обращения в нуль первого класса Черна. Калаби утверждал, что если топологическое условие обращения в нуль первого класса Черна выполняется, то должна существовать кэлерова метрика с нулевой кривизной Риччи. Таким образом, весьма широкое и размытое утверждение заменялось гораздо более узким и строгим — и именно поэтому Грин и большинство других математиков сочли это довольно неожиданным.

Я тоже с большим подозрением отнесся к данному утверждению, исходя из ряда формальных причин. Принято было считать, что никто никогда не сможет записать точное решение гипотезы Калаби за исключением разве что нескольких частных случаев. Если это предположение было правильным — что и было впоследствии доказано, — то ситуация становилась безнадежной, и тогда утверждение Калаби можно охарактеризовать как «слишком хорошее, чтобы быть правдой».

Можно провести следующую аналогию с теорией чисел. Хотя существует множество чисел, записать которые на бумаге не составляет ни малейшего труда, существует гораздо более обширный класс чисел, которые мы никогда не сможем записать в явном виде. Эти числа, называемые трансцендентными, включают в свое множество, например, e (2,718…) и π (3,1415…), запись которых даже с триллионом знаков после запятой все равно не будет полной. С технической точки зрения это происходит потому, что такие числа нельзя получить путем алгебраических преобразований и они не являются корнями полинома с рациональными коэффициентами. Ввести их можно только при помощи определенных правил, это означает, что мы можем дать сколь угодно точное и обширное их описание, но никогда — дословное.

Похожая ситуация возникает и с нелинейными уравнениями типа тех, что относятся к гипотезе Калаби. Решением нелинейного уравнения является функция. При этом едва ли стоит ожидать, что найденное решение будет иметь простой и явный вид, например, что его можно будет выразить при помощи точной формулы, поскольку в большинстве случаев таких формул просто не существует. Единственное, что остается, — это пытаться аппроксимировать решение хорошо известными нам функциями: полиномиальными, тригонометрическими (такими, как синус, косинус и тангенс) и некоторыми другими. Если же попытка аппроксимации решения уравнения известными нам функциями оказалась неудачной, у нас начинаются проблемы.

Держа в голове все вышесказанное, я попытался в свободное от работы время найти контрпримеры к гипотезе Калаби. Были волнующие мгновения: мне казалось, что я наконец нашел направление атаки, позволяющее опровергнуть эту гипотезу, — однако позже я обнаруживал изъяны в моей, вроде бы безупречной, конструкции. Это происходило неоднократно. В 1973 году на меня снизошло озарение. На этот раз я чувствовал, что действительно напал на верный путь. Подход, который я избрал — доказательство от противного, — был аналогичен тому подходу, который мы с Ричардом Шоном использовали для доказательства гипотезы о положительности массы. И на этот раз я мог поручиться за безупречность своего доказательства.