Тайны чисел: Математическая одиссея

По легенде, первый магический квадрат появился в 2000 г. до н. э. Он был нанесен на спину черепахи, которая выползла из реки Ло в Китае. Река сильно разлилась, и император Ю повелел совершить несколько жертвоприношений, чтобы умилостивить речного бога. В ответ речной бог послал на сушу черепаху, расположение чисел на панцире которой должно было помочь императору контролировать реку. Когда это расположение было понято, китайские математики начали составлять все бо́льшие и бо́льшие квадраты с такими же свойствами. Полагалось, что эти квадраты обладают магической силой, и их стали часто использовать для предсказаний. Самым впечатляющим достижением китайских математиков был магический квадрат 9 × 9.

Имеются свидетельства о том, что эти квадраты были ввезены в Индию китайскими торговцами, которые имели дело не только с пряностями, но и с математическими идеями. То, как числа переставляются в этих квадратах, сильно резонировало с индуистскими верованиями о реинкарнации, и в Индии эти квадраты использовались в самых разнообразных целях: от составления парфюмерных рецептов до помощи при деторождении. Магические квадраты были также популярны в средневековой исламской культуре. Ее значительно более систематический подход к математике привел к нескольким изощренным способам составления магических квадратов, кульминацией чего стало открытие впечатляющего магического квадрата 15 × 15 в XIII столетии.

Одно из первых появлений магических квадратов в Европе засвидетельствовано на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия», где изображен квадрат 4 × 4.

Рис. 3.12. Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Числа от 1 до 16 расположены в нем так, что их сумма по всем столбцам, строкам и диагоналям равна 34. Кроме того, сумма чисел в каждом из четырех квадрантов (квадратов 2 × 2, на которые может быть разбит больший квадрат) и в центральном квадрате 2 × 2 также равна 34. Дюрер даже расположил два числа посередине нижнего ряда, указывающих на год создания гравюры: 1514. А два крайних числа в нижнем ряду соответствуют инициалам художника.

Магические квадраты разного размера традиционно сопоставлялись с различными планетами Солнечной системы. Классический квадрат 3 × 3 соответствовал Сатурну, квадрат 4 × 4 в «Меланхолии» – Юпитеру, а самый большой квадрат 9 × 9 приписывался Луне. Было выдвинуто предположение, что использование Дюрером этого квадрата отражало его мистическое убеждение, что жизнерадостность Юпитера может противостоять тому чувству меланхолии, которым наполнена гравюра.

Другой знаменитый магический квадрат можно найти у входа в пышно украшенный храм Святого Семейства (Temple Expiatori de la Sagrada Família), до сих пор не достроенную церковь в Барселоне, проект которой был разработан Антонио Гауди. Магическим числом этого квадрата размером 4 × 4 является 33, столько лет было Христу при его распятии. Этот квадрат не совсем удовлетворителен, в отличие от квадрата Дюрера, потому что числа 14 и 10 встречаются в нем два раза за счет 4 и 16.

Хотя магические квадраты скорее являются математическим курьезом, с ними связана задача, которую математики до сих пор не смогли решить. По существу, имеется один магический квадрат размером 3 × 3. (Выражение «по существу» означает, что квадрат, полученный в результате вращения первоначального квадрата или операции отражения, примененной к нему, не будет считаться другим.) В 1693 г. француз Бернар Френикль де Бесси перечислил все 880 возможных магических квадратов размером 4 × 4, а в 1973 г. Рихард Шрёппель использовал компьютерную программу и рассчитал число магических квадратов размером 5 × 5. Их оказалось 275 305 224. Помимо этого у нас имеются лишь оценки для числа магических квадратов размером 6 × 6 и более того. Математики все еще находятся в поисках формулы, которая дала бы точные числа.

Кто изобрел судоку?

Дух судоку можно найти в головоломке, выросшей из математического увлечения магическими квадратами. Возьмите фигурные карты (валетов, дам, королей и тузов) из стандартной колоды карт и расположите их на сетке 4 × 4 так, чтобы ни в одном ряду и ни в одном столбце не было карт одной и той же масти или достоинства. Эту задачу впервые предложил в 1694 г. французский математик Жак Озанам, поэтому его можно было бы считать изобретателем судоку.