Тайны чисел: Математическая одиссея

Математиком, несомненно заразившимся этой задачей, был Леонард Эйлер. В 1779 г., за несколько лет до смерти, Эйлер предложил другой вариант задачи. Пусть имеется шесть полков, униформа которых разного цвета, например красная, синяя, желтая, зеленая, оранжевая и фиолетовая. В каждом из полков имеется шесть военнослужащих различного звания, скажем полковник, майор, капитан, лейтенант, капрал и рядовой. Задача состоит в расположении военных на сетке 6 × 6 так, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных одинакового звания или цвета униформы. Эйлер задал этот вопрос для сетки 6 × 6, поскольку считал, что невозможно удовлетворительно расположить 36 военных. Лишь в 1901 г. французский математик-любитель Гастон Тарри доказал, что Эйлер был прав.

Эйлер также полагал, что эту головоломку невозможно решить для сетки размером 10 × 10, 14 × 14, 18 × 18 и т. д., если каждый раз прибавлять 4. Но это оказалось неверно. В 1960 г. три математика с помощью компьютера показали, что удается разместить военных 10 разных званий из 10 полков на сетке размером 10 × 10 вопреки убеждению Эйлера. Они не остановились на достигнутом и полностью опровергли гипотезу Эйлера, доказав, что сетка размером 6 × 6 представляет единственный случай, когда такое расположение невозможно.

Если вы хотите испытать себя в решении головоломки Эйлера на сетке 5 × 5, то загрузите соответствующий файл с веб-сайта «Тайн 4исел», вырежьте военных пяти званий из пяти полков. Проверьте, сумеете ли вы разместить их на сетке 5 × 5, чтобы ни в одной шеренге и ни в одной колонне не было военных из одного полка или одного звания. Эти магические квадраты иногда называют греко-латинскими квадратами. Возьмите первые n букв из латинского и греческого алфавитов и составьте все n × n возможных пар из латинских и греческих букв. Теперь расположите эти пары на сетке n × n, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было одинаковых латинских или греческих букв.

Жизнь в квадрате

Французский писатель Жорж Перек использовал греко-латинский квадрат размером 10 × 10 для придания структуры своему роману «Жизнь, способ употребления», изданному в 1978 г. В книге 99 глав, каждая из них соответствует комнате в парижском многоквартирном доме в десять этажей, на каждом из которых по десять комнат (комната под номером 66 не посещается). Каждая из комнат соответствует позиции в греко-латинском квадрате 10 × 10. Но при этом Перек использует не 10 греческих и 10 латинских букв, а, скажем, 20 авторов, разделенных на два списка по 10 человек. Когда он писал главу про какую-то комнату, то следил за тем, какие авторы приписаны ей, чтобы в ходе повествования использовать отрывки из их произведений. Например, в главе 50 греко-латинский квадрат Перека предписывает ему цитировать Гюстава Флобера и Итало Кальвино. Но в схему вовлечены не только писатели. В общей сложности Перек использует 21 различный греко-латинский квадрат, каждый из них наполняется благодаря двум спискам по 10 пунктов. Эти списки варьируются от мебели, художественного стиля и периода в истории до положений тел, принимаемых обитателями комнат.

Судоку несколько отличается от головоломки Эйлера о военных. В его классической форме вам необходимо разместить девять наборов чисел от 1 до 9 на сетке 9 × 9 так, чтобы ни в одной строке, столбце или квадранте 3 × 3 никакое число не встречалось два раза. Несколько чисел уже нанесены на сетку, и требуется заполнить пустые места. Не верьте тем, кто заявляет, что для решения этих головоломок не требуется математика. Они имеют в виду, что не требуется совершать арифметических действий – судоку, по существу, является логической задачей. Но тот же вид логического рассуждения, которое приводит вас к заключению, что в нижнем правом углу может быть только 3, встречается повсюду и в математике.