Тайны чисел: Математическая одиссея

Если мы поглядим на план семи мостов Кёнигсберга, то увидим, что в каждой из его четырех вершин сходится нечетное число линий – и это говорит нам, что не существует маршрута по городу, проходящего по каждому из мостов только один раз. Эйлер пошел в своем анализе дальше. Если на карте имеется ровно две вершины с нечетным числом линий, такую карту можно нарисовать одним росчерком. Чтобы сделать это, нужно начать рисование с одной из точек с нечетным числом линий, а закончить его в другой вершине с нечетным числом линий.

Рис. 3.14. Теорема Эйлера утверждает, что эту карту можно нарисовать одним росчерком

Существует второй вид карт, который можно обойти по пути, называемому математиками наших дней Эйлеровым: такой, в каждой вершине которого сходится четное число линий. На подобной карте можно начать рисование в любой вершине, потому что путь должен начаться и закончиться в одной и той же вершине, чтобы получилась замкнутая петля. Хотя у вас и могут быть сложности с нахождением нужного пути, теорема Эйлера говорит вам, что, если карта принадлежит к одному из двух описанных мной типов, такой путь должен иметься. Такова сила математики: довольно часто она говорит вам о существовании чего-то, не прибегая к фактическому построению.

Чтобы доказать существование пути, воспользуемся классическим оружием из математического арсенала – индукцией. Она чем-то напоминает способ, посредством которого я борюсь со страхом высоты при подъеме на высокие лестницы или спуске по веревке с вершины водопада: делая раз за разом маленький шажок.

Начните с предположения, что вы умеете рисовать все карты с определенным числом ребер одним росчерком. А теперь представьте, что вам дана карта, у которой на одно ребро больше, чем было до того. Как можно понять, что вы по-прежнему сумеете нарисовать эту новую карту?

Давайте предположим, что у этой карты в двух вершинах сходится нечетное число ребер. Назовем эти вершины A и В. Трюк состоит в том, чтобы удалить одно из ребер, исходящих из вершин с нечетным числом ребер. Давайте удалим ребро, соединяющее B с другой вершиной С. На этой новой карте с одним удаленным ребром по-прежнему только две вершины, в которых сходится нечетное количество ребер: A и C. (Вершина B теперь характеризуется четным числом ребер, потому что мы только что удалили одну исходящую из нее линию; у вершины C теперь нечетное число, потому что мы удалили линию, соединяющую ее с В.) У этой новой карты достаточно малое число ребер, и мы можем ее нарисовать одним росчерком, начиная с вершины А и заканчивая в вершине С. Бо́льшую карту также нетрудно нарисовать: просто соедините С и В, добавив ребро, которое мы устранили ранее. Бинго!

Для полноты нам необходимо проанализировать еще несколько случаев. Например, что будет, если из B исходит только одна линия, которая соединяет ее с А, так что вершины А и С совпадают? Но мы можем видеть, что в основе доказательства существования Эйлерова пути лежит красивая идея продвижения шаг за шагом. Подобно тому как я методично поднимаюсь вверх по лестнице, я могу воспользоваться данным приемом для сколь угодно большой карты.

Чтобы увидеть мощь теоремы Эйлера, скажите вашему другу нарисовать настолько сложную карту, насколько он пожелает. Затем просто сосчитайте количество точек, где сходится нечетное число линий, и благодаря теореме Эйлера вы можете тут же сказать, удастся ли нарисовать эту карту одним росчерком.

Я недавно совершил паломничество в Кёнигсберг, который был переименован в Калининград после Второй мировой войны. Город неузнаваемо изменился со времен Эйлера – он был разрушен бомбардировками союзников. Однако три довоенных моста по-прежнему на месте: Деревянный мост (Holzbrücke), Медовый мост (Honigbrücke) и Высокий мост (Hohebrücke). Два моста исчезли полностью: Потроховой мост (Köttelbrücke) и Кузнечный мост (Schmiedebrücke). Оставшиеся мосты – Зеленый мост (Grünebrücke) и Лавочный мост (Krämerbrücke) – также были разрушены во время войны, но были перестроены и стали частью гигантской автострады с четырьмя полосами движения, проходящей через город.

Новый железнодорожный мост, по которому также могут ходить пешеходы, соединяет два берега Прегеля к западу от города. Также новый пешеходный Юбилейный мост, построенный на опорах разрушенного Императорского моста, позволил мне перейти реку подобно старому Высокому мосту. Я всегда думаю как математик и первым делом задался вопросом, можно ли совершить путешествие по сегодняшним мостам в духе игры XVIII в.

Рис. 3.15. Мосты Кёнигсберга XVIII в.

Рис. 3.16. Мосты Калининграда XXI в.

Математический анализ Эйлера подсказал мне, что если есть ровно два места, от которых отходит нечетное число мостов, то существует Эйлеров путь: вы начинаете движение в одном месте с нечетным числом и заканчиваете движение во втором. Посмотрев на план мостов сегодняшнего Калининграда, я обнаружил, что такой маршрут действительно возможен.