Тайны чисел: Математическая одиссея

На каждом кубике может с равной вероятностью выпасть любая из шести граней. Когда у нас имеется две игральных кости, то получается 6 × 6 различных возможных бросков, у каждого из которых будет одинаковая вероятность. Но когда вы проанализируете различные варианты получения заданного общего счета, то поймете, что счет 2 или 12 маловероятен, потому что любая из этих комбинаций получается лишь одним способом. В то же время счет 7 можно получить шестью способами (рис. 3.08).

Рис. 3.08

Итак, получается шанс 6 из 36, или 1 из 6, выбросить 7, а счет 6 или 8 будет следующим по вероятности. Выброшенный счет 7 приведет вас из тюрьмы на поле благотворительного фонда города, который вы не можете купить. Но соседствующие с ним оранжевые поля собственности (Боу-стрит и Мальборо-стрит в лондонской версии игры) являются следующими по вероятности остановками.

Если вам повезет, и вы окажетесь в этой оранжевой области собственности, то нужно будет купить ее и застроить отелями. Тогда вы сможете спокойно собирать плату за проживание с ваших соперников, когда бросок игральных костей выведет их из тюрьмы прямиком в ваше логово.

Телевикторина «Тайн 4исел»

Это игра для двух участников. Возьмите 20 конвертов и пронумеруйте их от 1 до 20. Игрок 1 записывает 20 различных сумм денег на листках бумаги и кладет их по одному в каждый конверт. Затем игрок 2 открывает какой-либо конверт и видит внутри денежную сумму. Он может либо принять эту сумму, либо выбрать другой конверт. Если он выбирает другой конверт, то не может возвращаться и претендовать на предыдущий приз.

Игрок 2 продолжает открывать конверты, пока не удовольствуется призом. Затем игрок 1 оглашает все призы. Игрок 2 получает 20 очков, если он набрал максимальную денежную сумму из имеющихся. Его результат равен 19 очкам, если он выбрал вторую по величине сумму, и т. д.

Теперь все конверты опустошаются, и игрок 2 записывает 20 различных денежных сумм на листках бумаги и кладет их по одному в каждый конверт. Теперь настала очередь игрока 1 попытаться получить наибольший денежный приз. Когда он останавливается на каком-либо из конвертов, то получает очки таким же образом, как и игрок 2. Победителем будет тот, у кого больше очков. Разумеется, это вовсе не означает большее количество денег. Счет идет именно по очкам.

Интригующий аспект этой игры состоит в том, что вы не знаете, каков диапазон призов: максимальный приз может быть и £ 1, и £ 1 000 000. Вопрос состоит в том, существует ли математическая стратегия, позволяющая повысить ваши шансы выигрыша. Да, такая стратегия существует. Она состоит в секретной формуле, зависящей от е, только не психоделического, а математического толка. Число e = 2,71828…, наверное, одно из самых знаменитых чисел во всей математике, уступающее лавры первенства только энигматичному π. Это число возникает всякий раз, когда оказывается важной концепция роста. Например, оно тесно связано с тем, как на вашем банковском счете накапливаются проценты.

Представьте, что вы хотите инвестировать £ 1 и изучаете процентные ставки, предлагаемые различными банками, и их условия. Один из банков предлагает 100 % годовых, выплачиваемых по истечении года. В результате ваша инвестиция возрастет до £ 2. Неплохо, но другой банк предлагает ставку 50 % за полгода, выплачиваемую два раза в год. Тогда через полгода у вас будет £ 1,50, а через год £ 1,50 + £ 0,75 = £ 2,25. Таким образом, условия второго банка лучше, чем первого. А третий банк предлагает 33,3 % за четыре месяца, выплачиваемые три раза в год. Это приведет к £ (1,333)³ = £ 2,37 через двенадцать месяцев. Если вы разбиваете год на все меньшие и меньшие интервалы, эта капитализация процентов становится все более выгодной вам.

К настоящему времени, как я надеюсь, математик внутри вас понял, что вам выгоднее всего было бы обратиться в «Банк бесконечности», который разделяет год на бесконечно малые промежутки времени. В этом банке у вас будет максимально достижимый баланс. Хотя баланс и увеличивается при все большем разделении года, он не будет бесконечным, а будет стремиться к этому волшебному числу e = 2,71828… Как и у π, у е имеется бесконечное десятичное разложение (обозначаемое «…»), которое никогда не повторяется. Оказывается, что е играет ключевую роль в том, чтобы помочь вам победить в викторине «Тайн 4исел».

Математический анализ этой игры предлагает вам сначала вычислить 1/е, что приблизительно составляет 0,37. Теперь вам нужно открыть 37 % конвертов, или около семи из них. Продолжайте открывать конверты, но остановитесь, как только дойдете до денежной суммы, превосходящей все, открытые до нее. Математика оценивает, что в одном случае из трех вы получите максимальный денежный приз. Данная стратегия полезна не только при участии в телевикторине «Тайн 4исел». Для принятия многих решений в нашей жизни можно также руководствоваться ею.