Тайны чисел: Математическая одиссея

Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2N карт, чтобы те приняли первоначальное положение? Пьер де Ферма доказал, что если 2N – 1 является простым числом и вы будете продолжать удваивать числа на циферблате с 2N – 1 часом, то после 2N – 2 удвоений числа обязательно вернутся на прежнее место. Итак, для колоды из 54 карт, поскольку 54 – 1 = 53 является простым числом, 52 совершенных тасовок будет наверняка достаточно.

Однако в случае, когда 2N – 1 не является простым, нам понадобится несколько более сложная формула для расчета количества необходимых совершенных тасовок. Если 2N – 1 = p × q, где p и q – простые числа, то (p –  1) × (q – 1) совершенных тасовок будет заведомо достаточно, чтобы колода приняла свой прежний вид. Так, для колоды из 52 карт, поскольку 52–1 = 3 × 17, наверняка хватит (3–1) × (17–1) = 2 × 16 = 32 совершенных тасовок. Но в действительности вам достаточно совершить лишь 8 таких манипуляций. (В следующей главе я докажу этот фокус Ферма и объясню, что та же самая математика лежит в основе шифров, которые должны защищать секреты в интернете.)

Подсказка для покера

В популярной версии покера, называемой «техасский холдем», каждому игроку раздаются по две карты картинками вниз. Затем дилер поочередно выкладывает пять карт на стол картинками вверх. Вы должны собрать как можно лучшую комбинацию из пяти карт, выбирая из двух имеющихся у вас и пяти на столе, которая превзошла бы комбинации соперников. Если вам достались две последовательные карты (скажем, 7 треф и 8 пик), вы можете войти в азарт из-за возможности стрита (пяти последовательных карт любых мастей, например 6, 7, 8, 9, 10).

Стрит – весьма сильная комбинация. Поскольку ее вероятность довольно низка, вы можете счесть, что наличие у вас двух последовательных карт – достаточное основание для повышения ставок, потому что вы находитесь на пути к стриту. И вот сейчас вам надлежит вспомнить лотерейную подсказку. Два последовательных числа довольно часто выпадают в лотерее, то же относится и к покеру. Знаете ли вы, что в 15 % раздач техасского холдема имеются две последовательные карты? Однако чуть меньше трети из них дойдут до стрита, когда дилер выложит пять карт на столе.

Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle[9] и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.

Математика в казино: удвоить или обанкротиться?

Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?