Тайны чисел: Математическая одиссея

Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.

Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов

Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой[8]. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.

Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.

Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.

Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2N карт (число должно быть четным) вернулись к исходному положению?

Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2N – 1, и вы увидите, что совершенная тасовка, по существу, удваивает номер карты. Карта 1 (которая на самом деле является второй картой в колоде) становится картой 2. После еще одной совершенной тасовки она становится картой 4, затем картой 8. Математика будет проще, если мы припишем первой карте номер 0.

Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2N – 1. Так, колода с 52 картами соответствует циферблату с делениями от 1 до 51. Если вы хотите знать, куда переместилась карта 32, то удвойте 32. Это означает, что вы стартуете с 32-го часа и отсчитываете 32 часа вперед, что приводит вас к 13 часам. Чтобы понять, сколько раз нужно сделать совершенную тасовку для возвращения всех карт к исходному положению, я должен понять, сколько раз я должен удвоить числа на циферблате для их возвращения к первоначальной позиции. В действительности я должен проследить за числом 1 и понять, сколько раз я должен удвоить его, чтобы вернуться к 1. Вот что происходит на циферблате с 51 часом при последовательном удвоении 1:

1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 13 → 26 → 1

То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 2⁸ = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.