Тайны чисел: Математическая одиссея

Проблема, связанная с тетраэдрической игральной костью, в которой четыре треугольные грани, состоит в том, что при приземлении кость обращена вверх одной из своих вершин, а не гранью, как привычный для нас кубик. Чтобы пользоваться ими, два из четырех трехгранных углов помечались белыми точками.

Рис. 3.04. Тетраэдрические кости из «Царской игры Ура»

Игроки бросали несколько пирамидок, и счет соответствовал количеству белых точек наверху. Подкидывание таких костей математически эквивалентно подкидыванию нескольких монет и подсчету количества выпавших орлов.

Ход «Царской игры Ура» сильно зависит от случайного исхода броска костей. В противоположность этому нарды, ее потомок, предоставляют соперникам возможность проявить искусство и стратегию, а не только полагаться на удачу при броске. Но первоначальная игра не исчезла полностью: недавно было обнаружено, что евреи в городе Коччи на юге Индии до сих пор играют в вариант «Царской игры Ура», 5000 лет спустя после состязаний в Древнем Шумере.

Нашли ли «Подземелья и драконы» все игральные кости?

Одной из новинок «Подземелий и драконов» (Dungeons & Dragons), настольной ролевой игры в жанре фэнтези, появившейся в 1970-х гг., был впечатляющий набор игральных костей. Но открыли ли изобретатели игры все возможные игральные кости? Когда мы изучаем, из каких форм получились бы хорошие кости, мы снова возвращаемся к вопросу из главы 2. Если все грани игральной кости представляют собой одинаковую симметричную фигуру и эти грани соединены так, что все вершины и ребра выглядят одинаково, то эта кость является одной из пяти форм: тетраэдром, кубом, октаэдром, додекаэдром или икосаэдром – Платоновым телом (с. 63). Вы можете найти все эти кости в игральном наборе «Подземелий и драконов» (и в PDF-файле, который можно загрузить с веб-сайта «Тайн 4исел»), но у нескольких из этих костей значительно более древнее происхождение.

Например, в 2003 г. на аукционе Christie’s была продана стеклянная игральная кость с двадцатью гранями, относящаяся к римским временам. Ее грани были покрыты странными символами, наводящими на мысль, что она скорее использовалась для предсказания судьбы, чем для игры. Икосаэдр лежит в основе одного из самых популярных в наши дни приспособлений для предсказания судьбы: магического шара 8 (Magic 8 Ball). Внутри шара, наполненного жидкостью, плавает икосаэдр с нанесенными на грани ответами на ваши вопросы. Вы задаете вопрос, трясете шар и, когда икосаэдр приближается к поверхности шара, читаете ответ. Диапазон ответов простирается от «бесспорно» до «даже не думай».

Если же вам нужны всего лишь честные игральные кости, то не нужно быть придирчивым из-за расположения граней. Например, в «Подземельях и драконах» есть игральная кость, представляющая собой две пирамиды с пятиугольными основаниями, соединенными друг с другом. Эта игральная кость имеет одинаковый шанс 1 из 10 приземлиться на любую из ее десяти треугольных граней. Она не является Платоновым телом, потому что вершина у макушки каждой из пирамид отличается от остальных вершин: в ней сходятся пять треугольников, в то время как в вершинах на соединенных основаниях сходится по четыре треугольника. Тем не менее данная игральная кость справедлива: она с равной вероятностью приземляется на каждую из своих десяти граней.

Математики исследовали, из каких других форм получатся честные игральные кости. Относительно недавно было доказано, что если у игральной кости по-прежнему остается какая-то симметрия, то в дополнение к Платоновым телам имеется 20 других форм плюс пять бесконечных семейств игральных костей.

Рис. 3.05. Симметричные формы, из которых получаются хорошие игральные кости

13 из этих дополнительных 20 форм связаны с теми, из которых выходят замечательные футбольные мячи, – Архимедовыми телами из главы 2. Напомним, что грани Архимедовых тел симметричны, но могут быть разной формы. Из них получаются хорошие мячи, но они не совсем подходят для игральных костей. У классического футбольного мяча 32 грани: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Не получится ли честная игральная кость, если просто написать на этих гранях числа от 1 до 32? Проблема состоит в том, что каждый пятиугольник имеет вероятность быть избранным приблизительно 1,98 %, в то время как каждый шестиугольник – приблизительно 3,81 %. Лишь в последнее десятилетие математики вывели точную формулу для вероятности того, что у игральной кости при ее приземлении наверху окажется какой-либо из пятиугольников. Впечатляющий геометрический расчет привел к следующему устрашающему ответу:

где r = ½ [2+sin²(π/5)] ^–1/2.