Секреты числа пи [Почему неразрешима задача о квадратуре круга] (Мир математики. т.7.)

Мы не будем приводить подробное доказательство этого утверждения, поскольку для этого потребуется использовать методы из теории Галуа, относящиеся к высшей математике. Вышесказанное можно представить в виде следующей диаграммы:

В царстве чисел все числа вплоть до алгебраических принадлежат к счетной бесконечности. Но мы уже знаем, что множество  не является счетным и намного больше этих множеств.  без алгебраических чисел, то есть «почти все» множество , также имеет трансфинитное, несчетное число элементов.

Математики называют неалгебраические числа (вспомним, что это все вещественные числа за исключением алгебраических, то есть множество  за вычетом ) трансцендентными числами, поскольку Эйлер писал, что эти числа «превосходят мощь алгебраических методов» (название «трансцендентные» происходит от латинского transcendere — «превосходить»). Следующее определение не содержит никаких философских подсмыслов, но является точным и однозначным: трансцендентным называется число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Все трансцендентные числа являются иррациональными, множество трансцендентных чисел не является счетным. Его кардинальное число больше, чем .

Какое отношение все это имеет к числу π? π является не только иррациональным, но и трансцендентным, что доказал Линдеман в 1882 году. Так как π является трансцендентным, оно не является алгебраическим и его нельзя построить с помощью циркуля и линейки за конечное число действий. Таким образом, поиски классического решения задачи о квадратуре круга оказались завершены. Однако и в наши дни некоторые известные математики все еще получают «решения» задачи о квадратуре круга. Но тем, кто якобы решил нерешаемую задачу, уже готовы ответы.

Так, один известный математик передавал полученные решения задачи о квадратуре круга наиболее одаренным ученикам. Когда ошибка была найдена (иначе и быть не могло), автору возвращался заполненный формуляр: «Любезный друг! Благодарим за предоставленное решение задачи о квадратуре круга. Возвращаем ваше доказательство и указываем на первую обнаруженную нами ошибку. Она находится на странице… в строке… Искренне ваш, и проч.». Столь остроумным способом этот математик отвечал упрямцам, не желавшим признать очевидное.

Итак, число π принадлежит к трансцендентным числам, составляющим большую часть царства чисел. На первый взгляд, в нем нет ничего необычного — это всего лишь заурядное трансцендентное число. Оно столь обыденно и незначительно, что никто до сих пор не нашел среди его знаков никакой закономерности.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ СВЯЗИ π

Число е является основанием натурального логарифма. Его значение равно 2,71828… После числа π это самая известная и наиболее часто встречающаяся математическая постоянная. Несомненно,

π + е = 5,859874482…,

но неизвестно, является ли это число трансцендентным. Удивительно, но известно, что одно из чисел π + е или π∙е является трансцендентным, но неизвестно, какое именно. Также неизвестно, является ли трансцендентным π^π.

Напротив, е^x является трансцендентным, что было доказано благодаря теореме Александра Гельфонда (1906–1968) и Теодора Шнайдера (1911–1988). Однако это нельзя доказать для π^e. В действительности неизвестно, является ли это число рациональным или иррациональным. Трансцендентными также являются е^n√n (при n не равно 0), π + In 2 и π + In 2 + √ln3. Неизвестно, являются ли иррациональными π + е или π/е. J них известно, что если они являются алгебраическими, то многочлены, корнями которых они являются, имеют восьмую степень или выше и коэффициенты порядка 10⁹. Этого недостаточно для строгого математического доказательства, но на бытовом уровне выглядит убедительно.

Квадратура круга