Разберись в Data Science

Как говорилось ранее, теория вероятностей позволяет количественно оценить возможность наступления того или иного события. Событием может быть любой исход – от простого (выпадение орла при подбрасывании монеты) до сложного («Дональд Трамп победит на выборах 2016 года»). Даже ребенок может оценить вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты как 50 на 50, однако вся индустрия опросов общественного мнения не сумела предсказать результаты выборов 2016 года, несмотря на анализ терабайтов данных.

В этом кратком уроке мы рассмотрим простые случаи.

Вероятность принимает значения в диапазоне от 0 до 1 включительно, где 0 означает невозможность (выпадение 7 при бросании шестигранного кубика с цифрами 1–6), а 1 – абсолютную уверенность (выпадение числа меньшего 7 при бросании шестигранного кубика). Вероятность часто выражается в виде простой дроби (вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты составляет 1/2) или в процентах (у вас есть 25 %-ный шанс выбрать карту пиковой масти из стандартной колоды игральных карт). Многие люди при описании вероятности используют числа, дроби и проценты взаимозаменяемо.

Для экономии места мы будем использовать сокращение и обозначать вероятность буквой P. Описания событий мы также будем сокращать. Например, фразу «Вероятность выпадения орла при подбрасывании честной монеты равна 1/2» можно кратко записать в виде P(М == О) = 1/2. Или, еще короче, P(О) = 1/2. Фактически весь предыдущий абзац можно показать в виде следующей таблицы.

Табл. 6.1. Сценарии, описанные с помощью сокращенной нотации

Использование «==» вместо «=»

Если вы уже проходили курс по теории вероятностей или статистике, используемые обозначения вам, скорее всего, знакомы. Однако для большей ясности мы добавили еще кое-что.

Обратите внимание: когда мы проверяем вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты, мы пишем P(М == О) вместо P(М = О). Мы делаем это для того, чтобы провести различие между двумя наборами знаков равенства в нашем уравнении. С помощью двойного знака равенства (==) мы фактически проверяем результат подбрасывания монеты М.

С другой стороны, когда мы пишем P(М == О) = 1/2, единственный знак равенства в конце записи указывает на то, что результат P(М == О) равен 1/2.

Эта нотация соответствует синтаксису булевой логики, используемому во многих языках программирования.

Выражение P(К < 7) = 1 обозначает суммарную вероятность и говорит о том, что «Вероятность выпадения числа меньшего 7 при бросании шестигранного кубика равна 1». Этот результат получается путем сложения P(К == 1) + P(К == 2) + P(К == 3) + P(К == 4) + P(К == 5) + P(К == 6) = 6 × 1/6 = 1 (табл. 6.2). Сумма вероятностей всех исходов должна равняться единице.

Табл. 6.2. Суммарная вероятность выпадения числа меньшего 7 при бросании кубика

Условная вероятность и независимые события

Когда вероятность наступления одного события зависит от наступления другого, это называется условной вероятностью. Условная вероятность обозначается вертикальной чертой, |, которая читается как «при условии». Вот несколько примеров для большей ясности:

– Вероятность того, что Алекс опоздает на работу, составляет 5 %. P(А) = 5 %.

– Вероятность того, что Алекс опоздает на работу при условии, что у него спустит колесо (С), равна 100 %. P(А | С) = 100 %.

– Вероятность того, что Алекс опоздает на работу при условии, что на межштатной автомагистрали 75 будет пробка (П), составляет 50 %. P(A | П) = 50 %.

Как видите, вероятность наступления события сильно зависит от предшествующего ему события или событий.

Когда вероятность наступления одного события не зависит от наступления другого, эти события считаются независимыми. Например, условная вероятность выбора карты пиковой масти из колоды карт при условии выпадения орла при подбрасывании монеты P(П | О) равна вероятности выбора карты пиковой масти самого по себе, P(П). Короче говоря, P(П | О) = P(П), и точно так же P(О | П) = P(О), потому что между этими событиями нет никакой зависимости. Колоде карт все равно, что произошло с монетой, и наоборот.

Вероятность наступления множества событий