Простая одержимость

Определяющая роль Дирихле в том, что относится к нашему рассказу, состоит в следующем. Вдохновленный результатом, доказанным Эйлером ровно за сто лет до того, — результатом, который я отныне буду называть Золотым Ключом, — Дирихле в 1837 году свел вместе идеи из анализа и арифметики для доказательства важного результата о простых числах. Этот момент многими рассматривается как начало аналитической теории чисел — арифметики с пределами. Открывшая новые горизонты работа Дирихле называлась, уж извините, Beweis des Satzes, doss jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Gleid und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind_f unendlich viele Primzahlen enthält — «Доказательство теоремы о том, что каждая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой являются целыми числами без общего делителя, содержит бесконечно много простых чисел».

Возьмем любые два целых числа и будем последовательно прибавлять одно к другому. Если наши два числа имеют общий делитель, то каждое из получающихся чисел тоже будет иметь этот делитель: например, последовательное прибавление числа 6 к 15 даст числа 15, 21, 27, 33, 39, 45, …, каждое из которых делится на тройку. Но если два исходных числа не имеют общего делителя, то в получающемся списке могут попадаться и простые числа. Например, будем последовательно прибавлять 6 к 35: получим 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, …, где масса простых (вперемешку, разумеется, с массой не простых, таких как 65 или 77). А как много простых? Может ли такая последовательность содержать бесконечно много простых чисел? Другими словами, может ли случиться так, что для любого сколь угодно большого числа N нам удастся получить более чем N простых чисел, достаточно долго прибавляя для этого 6 к 35? А может ли любая подобная последовательность, построенная из двух чисел без общего делителя, содержать бесконечно много простых чисел?

Да. Может. И именно так дело и обстоит. Возьмем любые два числа без общего делителя и будем последовательно прибавлять одно к другому. Получим бесконечно много простых чисел (наряду с бесконечно большим количеством не простых). Гаусс высказал предположение, что так должно быть, — зная мощь Гаусса, хочется сказать, что он это чувствовал интуитивно, — но твердо доказал это Дирихле в той работе 1837 года. Именно в доказательстве, которое привел Дирихле, реализовалась первая часть того самого великого соединения.

На самом деле все даже еще интереснее. Возьмем любое положительное целое число, скажем, 9. Как много чисел, меньших, чем 9, не имеют общего делителя с девяткой (единица не считается за делитель)? Таких чисел шесть — это 1, 2, 4, 5, 7, 8. Будем по очереди брать каждое из них и последовательно прибавлять к нему девятку.

1: 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 100, 109, 118, 127…
2: 11, 20, 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 101, 110, 119, 128…
4: 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, 85, 94, 103, 112, 121, 130…
5: 14, 23, 32, 41, 50, 59, 68, 77, 86, 95, 104, 113, 122, 131…
7: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97, 106, 115, 124, 133…
8: 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 89, 98, 107, 116, 125, 134…

Каждая из этих шести последовательностей содержит не просто бесконечно много простых чисел (выделены жирным), но и одну и ту же долю простых чисел. Другими словами, представим себе, что последовательности продолжены до окрестности какого-то очень большого числа N, а не просто до окрестности числа 134; тогда каждая последовательность будет содержать примерно одно и то же количество простых чисел, причем если верна Теорема о распределении простых чисел, то около ¹/₆(N∙ln N) (впрочем, эта теорема еще не была доказана во времена Дирихле). Если N — это 134, то ¹/₆(N∙ln N) составляет около 4,55983336…. Приведенные выше шесть последовательностей содержат 5, 5, 4, 5, 4 и 5 простых чисел, что дает среднее 4,6666… — на 2,3 процента больше, чем утверждается, что совсем неплохо для такой маленькой выборки.