Простая одержимость

где мы пользовались 7-м правилом действий со степенями (которое говорит, например, что 2^s умножить на 7^s равно 14^s). А теперь вычтем второе из этих выражений из первого. В одну из левых частей входит ζ(s) с множителем 1, а в другую — та же ζ(s) с множителем . Вычитая, получаем

Вычитание устранило из бесконечной суммы все члены с четными числами. Остались только члены, в которые входят нечетные числа.

Вспоминая решето Эратосфена, умножим теперь обе части порченного равенства на , руководствуясь тем, что 3 — это первое выжившее число в правой части:

Теперь вычтем это выражение из того, которое мы получили ранее. При вычитании левых частей будем рассматривать  как неделимую штуку, — просто как некоторое число (каковым оно, конечно, и является при любом заданном s). Вся эта штука входит в левую часть одного выражения с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитая, получаем

Из бесконечной суммы исчезли все члены, содержащие числа, кратные тройке! Первое выжившее число — это теперь 5.

Умножив теперь обе части полученной формулы на , будем иметь

А теперь, вычитая это равенство из предыдущего и рассматривая на этот раз  как неделимую конструкцию, видим, что в левую часть одного выражения она входит с множителем 1, а в левую часть другого — с множителем . Вычитание дает

Все слагаемые с числами, кратными 5, исчезли при вычитании, и первое выжившее число в правой части — это 7.

Замечаете сходство с решетом Эратосфена? Но вы должны заметить и отличие. При работе с исходным решетом мы оставляли сами простые числа в неприкосновенности, удаляя только их кратные — числа, полученные из них умножением на 2, 3, 4, …. Здесь же при вычитании мы устраняем из правой части как само простое число, так и все его кратные.

Если продолжать описанную процедуру до достаточно большого простого числа, скажем, до 997, мы получим

Теперь заметим, что если s — любое число, большее единицы, то правая часть этой формулы совсем ненамного больше чем просто 1. Например, при s = 3 правая часть этой формулы равна 1,00000006731036081534… Поэтому выглядит довольно правдоподобным предположение, что если продолжать указанный процесс до бесконечности, то для любого числа s большего 1 получится следующий результат (7.1):

где в левой части содержится ровно одно выражение в скобках для каждого простого числа, причем эти скобки продолжаются налево без конца. Теперь поделим обе части полученного выражения последовательно на каждую из этих скобок (7.2):

IV.

Это — Золотой Ключ. Чтобы он предстал перед нами во всей красе, давайте немного его почистим. Дроби с дробными знаменателями нравятся мне ничуть не больше, чем вам, а кроме того, есть еще полезные математические приемы, которые позволят нам сэкономить на наборе формул.

Прежде всего вспомним 5-е правило действий со степенями: оно говорит, что a^−N есть 1/a^N и a⁻¹ есть 1/a. Поэтому выражение (7.2) можно записать поаккуратнее:

ζ(s) = (1 − 2^−s)⁻¹×(1 − 3^−s)⁻¹×(1 − 5^−s)⁻¹×(1 − 7^−s)⁻¹×(1 − 11^−s)⁻¹×….

Есть даже еще лучший способ. Вспомним про обозначение ∑, введенное в главе 5.viii. Когда мы складываем компанию слагаемых единообразной структуры, их сумму можно записать коротко, используя знак ∑; у этого имеется эквивалент для умножения, когда сомножители имеют единообразную структуру: тогда используется знак ∏. Это заглавная греческая буква «пи», используемая в этом качестве из-за слова «product» (произведение). Используя знак ∏, выражение (7.2) можно переписать таким образом:

Читается это так: «Дзета от s равна взятому по всем простым числам произведению от величины, обратной единице минус p в степени минус s». Подразумевается, что маленькое p под знаком ∏ означает «по всем простым».[55] Вспоминая определение функции ζ(s) в виде бесконечной суммы, можно подставить эту сумму в левую часть и получить

Золотой Ключ (7.3):

И сумма в левой части, и произведение в правой части простираются до бесконечности. Это, кстати, дает еще одно доказательство того факта, что простые числа никогда не кончаются. Если бы они вдруг кончились, то произведение в правой части содержало бы конечное число множителей, и тем самым мы его немедленно вычислили бы как какое-то число при абсолютно любом аргументе s.[56] При s = 1, однако, левая часть представляет собой гармонический ряд из главы 1, сложение членов которого «уводит нас в бесконечность». Поскольку бесконечность в левой части не может равняться конечному числу в правой, количество простых чисел с необходимостью бесконечно.

V.

Что же такого — как вы, должно быть, недоумеваете — замечательного, такого неординарного и вызывающего имеется в выражении (7.3), что оно удостоилось столь высокопарного имени?