Прорыв за край мира

Как решаются самые простые дифуры

Поскольку автор намерен помочь читателям (хотя бы тем, которые помнят что-нибудь о производных) всерьез разобраться, откуда берется ускоренное расширение Вселенной и как работает механизм космологической инфляции, на данной врезке подробно объяснено, откуда берутся приведенные в тексте решения уравнения Фридмана. Первое, что нужно знать, как выглядит производная степной функции у = х^β (β — любое фиксированное число). Вот так: dy/dx = βх^β-1. Уравнение Фридмана для нулевой кривизны с учетом уравнения состояния и при использовании безразмерного времени (выраженного через постоянную Хаббла) выглядит так:

da/dt = a^α,

где а — масштабный фактор, а зависит от уравнения состояния вселенной. Решение ищется в виде

а = c(t+t₀)^β,

где с и t₀ — константы. Подставляем в уравнение Фридмана:

βc(t+t₀)^β-1= c^α(t+t₀)^αβ

Понятно, что степени у переменной справа и слева должны быть равны:

β-1 = αβ,

откуда

β = 1/(1-α)

и

с = (1/β)^β

На константу t₀ пока не обращаем внимания. Обратить внимание надо на случай a = 1, когда b обращается в бесконечность. В этом случае исходное уравнение превращается в

da/dt = а.

Это не только самое простое, но и самое знаменитое дифференциальное уравнение, описывающее размножение нейтронов при ядерном взрыве или бактерий в благоприятной среде. Его решение

a = e^t

основано на свойстве экспоненты оставаться самой собой при дифференцировании. Однако, предметом разбирательства остается переход между экспоненциальным и степенным решением. Он из соображений здравого смысла должен быть плавным, а из формул этого не видно. Здесь надо вспомнить про константу t₀. Добавим ее так, чтобы решение при t = 0 совпадало с экспоненциальным. Надо получить а = 1 при t = 0 и для этого взять t₀ = β:

a = (1/β)^β(t + β)^β = (1+t/β)^β

А теперь надо вспомнить определение числа е и убедиться, глянув в учебник или «Википедию», что последнее выражение при b стремящемся к бесконечности (что происходит, когда а стремится к 1 из-за того, что уравнение состояния вселенной стремится к вакуумному), стремится к e^t . Решения для значений а близких к 1 (или больших значений Ь) показаны в логарифмическом масштабе на рис. 13.1.

14. Великое объединение наук

Космология возникла как наука о самом гигантском: космос, галактики, миллиарды световых лет, миллиарды лет времени. Но уже более полувека назад она бы не смогла сдвинуться с места без ядерной физики: почему образовалось столько-то гелия и столько-то дейтерия; горячей родилась Вселенная или холодной; если горячей, то какова ее нынешняя температура? Все эти вопросы решались с таблицами данных по ядерной физике.