Монизм как принцип диалектической логики

Объективны не только конечные, но и бесконечные определения действительности. Сферу эмпирического знания о пространстве составляет мир конечных вещей, т.е. качественно разграниченного пространства, дефинированного физической определенностью конечных вещей. Однако пространство само по себе безразлично к этой дефиниции, о чем свидетельствует изменчивость пространственных границ вещей. Само же пространство не меняется.

Пространственные определения дефинируют лишь сами вещи, качественно-количественную конечную сферу, но не пространство, как таковое. Поэтому геометрия и отвлекается от этой дефиниции и полагает свою. Она отвлекается от зависимости геометрических отношений от физического субстрата вещей, но только потому, что пространство есть атрибут материи, субстанции, а не отдельной конечной вещи, которая и составляет предмет опыта. Поэтому геометрию можно было бы определить как физику не отдельных конечных объектов, а их целых систем, а количество – как качество системы, не сводимое к свойствам элемента. Так, например, в общей теории относительности связываются воедино пространственные и гравитационные характеристики системы, нащупывается предел безразличия геометрии к физике.

Каким способом математика получает свой абстрактный предмет?

Самый общий ответ на этот вопрос дал еще Аристотель, который рассматривал «математические объекты» как абстракции, отвлечения от известных свойств реальных вещей, их идеализации, упрощения и т.п. Этот взгляд в различных вариантах повторяется и по сей день.

Но правомерен ли такой подход к науке? Можно ли рассматривать геометрию как науку об абстракциях или о воображаемых с помощью абстракции вещах? Нам думается, что нет. Ведь в этом случае геометрия была бы лишь ветвью логики или психологии. Проблему реальности, в частности проблему предмета математики, аристотелевская теория абстракции не разрешает. Для ее разрешения должны быть привлечены категории, выработанные марксистской философией.

2. Проблема реальности в математике

В соответствии с принципом гомогенности все математические понятия следует рассматривать лишь в их взаимных отношениях. Вместе с тем само математическое познание предполагает, что существуют не только определенные отношения в гомогенной области предмета математики, но и между ней и остальными сторонами объективного мира. Это отношение определяется как безразличие математических зависимостей к содержанию, качественной определенности предметов и явлений, составляющее необходимую и самую фундаментальную предпосылку математического познания.

Математика исследует «рациональные связи» (Энгельс) между математическими величинами. С формальной стороны, в соответствии с принципом гомогенности, характер этих связей был рассмотрен выше. Что же касается их содержательной интерпретации, то этот вопрос упирается в более общую и фундаментальную проблему – проблему реальности в математике, в анализ тех условий, при которых пространственные формы и количественные отношения мира могут быть рассмотрены как безразличные по отношению к содержанию.

В науках, исследующих реальные объекты и их свойства, определенность свойства рассматривается в зависимости от определенной природы этих объектов и реальных условий, в которых они пребывают. Причем под объектом и его свойством здесь понимаются совершенно реальные вещи и процессы, существующие вне и независимо от нашего познания.

Для того чтобы познать какое-либо определенное свойство объекта, необходимо обратиться к самому объекту, внешней вещи, в которой это свойство фиксировано. Наличие этих объектов и свойств мы устанавливаем опытным путем. Опытным же путем мы устанавливаем, что данное свойство (форма, размер и т.п.) того или иного объекта является продуктом реальных процессов и взаимодействий. В определенности исследуемого свойства выражается определенность его носителя, вещи, и эта определенность, как и самая вещь, может быть установлена только опытным путем.

Такой подход к делу представляется простым и естественным: наука рассматривает объективные явления, фактические события, существующие вне и независимо от нас и доступные так или иначе нашим органам чувств. Сложность возникает тогда, когда мы начинаем рассматривать свойства вещей, сознательно отвлекаясь от самих вещей, носителей этих свойств.