Монизм как принцип диалектической логики

Ту же функцию – служить средством выражения одних математических фактов через их отношение к другим – выполняют и так называемые «идеальные элементы». Этой задаче отвечало, например, введение Куммером в теорию чисел «идеальных чисел» для восстановления первоначально утрачиваемых при переходе от рациональных чисел к алгебраическим законов разложения на множители; введение в геометрию мнимых величин для установления некоторых общих теорем о точках пересечения алгебраических поверхностей и кривых; введение Понселе в его проективной геометрии бесконечно удаленной точки, в которой пересекаются параллельные прямые, в результате чего упрощаются соотношения инцидентности (принадлежности) между точками и прямыми (связь метрической и проективной геометрии) и т.п.

Ставить вопрос о реальности этих элементов вне логической связи в системе понятий – значит игнорировать весь сложный путь образования абстракций, диалектику научно-теоретического познания. «Любая абстракция, отделенная от конкретного основания, – как число отвлекается от конкретных совокупностей предметов, – “сама по себе” не имеет смысла, она живет только в связях с другими понятиями... Вне их она лишается содержания и значения, т.е. просто не существует. Содержание понятия отвлеченного числа лежит в законах, в связях системы чисел»[148].

Действительно, абстракция – не копия фактического положения вещей, а элемент логической связи, раскрывающей содержание фактически данного свойства. Вне этой связи она лишена смысла.

Постижение рациональной связи количественных определений предполагает монистический, имманентно-математический подход к ним, опирается на установление различий, внутренних для этой количественной, а не качественной области вещей. Поэтому-то математика ничего и не говорит о «вещах» внешнего мира, ибо последние представляют собой качественные единицы.

Категория вещи, все категории вещественно-расчлененного эмпирического мира и человеческого опыта имеют качественную природу. Поэтому высказывание математики о мире качественно конечных вещей представляло бы собой попытку говорить на чужом для нее языке. Принцип монизма, будучи принципом рационального познания, обязывает рассматривать исследуемые объекты как проявления присущего им внутреннего единства и отвлекаться от связей, гетерогенных данной области. Поэтому рациональное познание количественных определений заведомо предполагает отвлечение от качественно-вещественных категорий опыта.

Но это вовсе не значит, что математика вообще отвлекается от реального мира, что она – лишь область спонтанного творчества разума. Математические истины столь же объективны, сколь и всякие другие научные истины, но для них вовсе не обязателен эмпирический характер. Количественная определенность вещей в известных пределах безразлична к их качественной природе. В рамках этого безразличия и подвизается математика.

Предметы непосредственного опыта, эмпирического знания имеют конечный, качественно-количественный характер. Границы количественной определенности вещи положены качеством этой вещи, внешним по отношению к количеству способом. В этом случае количественное определение вещи не есть самоопределение пространства, не есть его саморазличение, но полагание качественной границы пространства.

Естественно, что математика стремится постичь пространственные определения как положенные не внешним для ее предмета способом, а внутренним. Логическое есть постижение определенного, исследование природы предела. В математике исследуются внутренние пределы количественной области, внутренние для количества определения. Поэтому то, что является определенным для чувства, вовсе не является таковым для математического разума.

Восприятие рассматривает количественную определенность вещи как характеристику ее качества, математическое познание – как определенность количества самого по себе. Для восприятия пространственно определенная вещь есть вещь, ограниченная другими пространственными вещами, есть пространство, разграниченное качествами; для математика пространственно определенное есть то, что положено отношениями пространственных же категорий. В опыте пространственные категории суть определения вещей, в геометрии они – определения самого пространства.

Сказанное представляет собой соображения логического или методологического порядка, которые, по сути дела, опираются на определенную онтологию. Устранение аргументации эмпирического характера вовсе не является следствием особой щепетильности математики в вопросах логики. Соединение собственно математических и эмпирических понятий несостоятельно не только потому, что оно эклектично, но прежде всего потому, что эмпирические категории отражают совсем не ту сторону объективной реальности, которая составляет предмет математики.