Логика для всех. От пиратов до мудрецов

Комментарий. В этой задаче одно из противоречащих друг другу утверждений – то, что требуется доказать (крестики могут как минимум не проиграть), а второе – его отрицание (нолики могут выиграть).

Задача 7.4. В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.

Решение. Предположим противное: разность между числами, стоящими в любых двух соседних по стороне или вершине клетках, не превышает 8. Заметим, что расстояние между любыми двумя клетками не превышает семи королевских ходов. Поэтому разность между числами в любых двух клетках по предположению не превышает 7 · 8 = 56. Но разность 64 – 1 = 63 > 56. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно и найдутся два числа в соседних клетках, отличающиеся не менее чем на 9.

Комментарий. В этой задаче метод от противного применен в широком понимании: противоречащие друг другу утверждения («Числа в любых двух клетках отличаются не более чем на 56» и «Существуют две клетки, числа в которых отличаются на 63») не сформулированы явно ни в условии задачи, ни в предположении, а получены из них.

Задача 7.5. Острова архипелага связаны мостами так, что с каждого острова можно дойти до любого другого. Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное. «Докажем», что можно обойти архипелаг, пройдя по каждому мосту ровно один раз.

«Доказательство». Предположим противное: хотя бы с трех островов ведет нечетное число мостов. Заходя на остров, мы «тратим» два моста: по одному вошли, по другому вышли. Поэтому мосты, выходящие с каждого острова, можно объединить в пары. Нечетное число мостов может быть только на самом первом острове (мы с него вышли первый раз, не заходя перед этим) и на последнем (зашли, но не вышли). Если островов с нечетным числом мостов хотя бы три, приходим к противоречию, и пройти по всем мостам ровно один раз нельзя. А если таких островов не более двух, то можно.

Верно ли это «доказательство»?

Решение. Обозначим данное в задаче условие буквой А: «Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное». То, что требуется доказать, обозначим как Б: «Можно прогуляться по архипелагу, пройдя по каждому мосту ровно один раз». Итак, требуется доказать А ⇒ Б. А что доказано? Что если «нечетных» островов хотя бы три, то обойти архипелаг, пройдя по разу по каждому мосту, нельзя. То есть доказано (вполне, кстати, верно) «не А» ⇒ * «не Б» – противоположное утверждение, которое, как уже обсуждалось в задаче 6.1, отнюдь не равносильно нужному. И неверна в доказательстве именно последняя фраза: «А если таких островов не более двух, то можно». Вот Б ⇒ А действительно равносильно «не А» ⇒ «не Б».

Комментарий. 1) Итак, слова «предположим противное» и «пришли к противоречию» сами по себе не являются магическим заклинанием. Распространенная ошибка – вместо требуемого утверждения доказать обратное ему. 2) Само утверждение про архипелаг верно, но доказывается сложнее, чем обратное.

Задача 7.6*. Конечно или бесконечно множество простых чисел?

Обсуждение. Не правда ли, вопрос естественный? Недаром его еще древние греки поставили. И он кажется очень сложным, не так ли? Во всяком случае, конечно ли множество пар простых чисел-близнецов (т. е. отличающихся друг от друга на 2), неизвестно до сих пор. Как не найдено и никакой формулы, позволяющей бесконечно вычислять одно простое число за другим. А некоторые простые по формулировке вопросы теории чисел решены весьма сложными современными методами (например, великая теорема Ферма или тернарная проблема Гольдбаха). Но вот вопрос о бесконечности множества простых чисел древние греки смогли не только поставить, но и решить. Приведем удивительное по красоте и простоте доказательство от противного, восходящее к «Началам» Евклида.

Решение. Пусть множество простых чисел конечно. Тогда можно выписать все простые числа: p₁, p₂, p₃…, p_n. Произведение всех этих чисел делится на каждое из них. А если его немножко «испортить», прибавив 1, то полученное число: p₁p₂p₃… p_n + 1 не будет делиться ни на одно из простых чисел p₁, p₂, p₃…, p_n. Можно ли это число разложить на простые множители? Если можно, то среди этих простых множителей нет известных нам чисел p₁, p₂, p₃…, p_n (то есть мы выписали не все простые числа!). А если нельзя, то это число само простое, причем большее всех выписанных нами чисел. В любом случае выписать все простые числа не удалось. Значит, их множество бесконечно.

Комментарий. Является ли приведенное доказательство доказательством от противного? Если да, то требовалось бы доказать, что из А следует Б. А мы вместо этого доказывали бы, что из «не Б» следует «не А». Но где же условие А? В задаче вообще ничего не дано!