Курс теоретической астрофизики

Метод Шварцшильда — Шустера. Обозначим через 𝐼₁(τ) среднюю интенсивность излучения, идущего снизу вверх, и через 𝐼₂(τ) — среднюю интенсивность излучения, идущего сверху вниз. Эти величины равны

𝐼₁(τ)

=

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

,

𝐼₂(τ)

=

π

∫

π/2

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.12)

Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от 0 до π/2, получаем

𝑑

𝑑τ

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

=

𝐼₁(τ)

-

𝑆(τ)

.

(2.13)

Интеграл в левой части этого уравнения приближённо представим в виде

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

=

½

𝐼₁(τ)

,

(2.14)

т.е. вынесем за знак интеграла среднее значение cosθ в верхней полусфере, равное ½. Тогда вместо (2.13) будем иметь

1

2

𝑑𝐼₁(τ)

𝑑τ

=

𝐼₁(τ)

-

𝑆(τ)

.

(2.15)

Умножая первое из уравнений (2.9) на sinθ 𝑑θ и интегрируя в пределах от π/2 до π, аналогично находим

-

1

2

𝑑𝐼₂(τ)

𝑑τ

=

𝐼₂(τ)

-

𝑆(τ)

.

(2.16)

Второе из уравнений (2.9) при помощи величин 𝐼₁(τ) и 𝐼₂(τ) переписывается так:

𝑆(τ)

=

½[

𝐼₁(τ)

+

𝐼₂(τ)

]

(2.17)

Таким образом, от системы уравнений (2.9) мы приближённо перешли к системе уравнений (2.15)—(2.17), которая решается весьма просто.

Складывая почленно уравнения (2.15) и (2.16) и пользуясь (2.17), находим

𝐼₁(τ)

-

𝐼₂(τ)

=

𝐹

,

(2.18)

где 𝐹 — произвольная постоянная. Вычитая (2.16) из (2.15) и учитывая (2.18), получаем

𝐼₁(τ)

+

𝐼₂(τ)

=

2𝐹τ

+

𝐶

,

(2.19)

где 𝐶 — новая постоянная.

Для определения постоянных 𝐹 и 𝐶 обратимся прежде всего к граничному условию (2.10). В данном случае оно означает, что 𝐼₂(0)=0. Находя из (2.18) и (2.19) величину 𝐼₂(0) и пользуясь этим условием, имеем

𝐶

=

𝐹

.

(2.20)

Что касается постоянной 𝐹, то она выражается через полный поток излучения 𝐻, который постоянен в фотосфере и даётся формулой (2.11). По определению, полный поток излучения равен

𝐻

=

2π

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cosθ

sinθ

𝑑θ

.

(2.21)

В принятом приближении

𝐻

=2π

⎡

⎢

⎣

1

2

π/2

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

-

1

2

π

∫

π/2

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

⎤

⎥

⎦

=

=

π[

𝐼₁(τ)

-

𝐼₂(τ)

].

(2.22)

Сравнивая (2.22) с (2.18), получаем

𝐻

=

π𝐹

.

(2.23)

Подстановка (2.19) и (2.20) в (2.17) даёт одну из искомых функций:

𝑆(τ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

τ

+

1

2

⎞

⎟

⎠

.

(2.24)

Другая искомая функция 𝐼(τ,θ) легко выражается через 𝑆(τ) при помощи первого из уравнений (2.9).

Метод Эддингтона. Умножим первое из уравнений (2.9) на 2π cosθ sinθ 𝑑θ и проинтегрируем от 0 до π. Пользуясь формулой (2.21), получаем

2π

𝑑

𝑑τ

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cos²θ

sinθ

𝑑θ

=

𝐻

.

(2.25)

Вынесем за знак интеграла среднее значение cos² на сфере, равное ¹/₃ т.е. приближённо положим

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

cos²θ

sinθ

𝑑θ

=

1

3

π

∫

0

𝐼(τ,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.26)

Тогда вместо (2.25) при учёте второго из уравнений (2.9) находим

4π

3

𝑑𝑆(τ)

𝑑τ

=

𝐻

.

(2.27)

Так как полный поток излучения постоянен в фотосфере, то из (2.27) следует

𝑆(τ)

=

3

4π

𝐻τ

+

𝐶

,

(2.28)

где 𝐶 — произвольная постоянная.

Для нахождения 𝐶 напишем выражение для величин 𝑆(τ) и 𝐻 при τ=0. Принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

𝑆(0)

=

1

2

π

∫

0

𝐼(0,θ)

sinθ

𝑑θ

,

(2.29)

а также приближённо

𝐻

=

π

π

∫

0

𝐼(0,θ)

sinθ

𝑑θ

.

(2.30)

Поэтому имеем

𝑆(0)

=

𝐻

2π

.

(2.31)

При условии (2.31) для постоянной 𝐶 получаем

𝐶

=

𝐻

2π

.

(2.32)

Подстановка (2.32) в (2.28) даёт

𝑆(τ)

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

3

4

τ

+

1

2

⎞

⎟

⎠

,

(2.33)

где, как и раньше, использовано обозначение (2.23).

Мы видим, что выражение (2.33) для функции 𝑆(τ) не сильно отличается от выражения (2.24), полученного предыдущим методом.

3. Применение квадратурных формул.

Изложенные выше приближённые методы нашли довольно широкое применение в астрофизике. Однако точность результатов, получаемых этими методами, сравнительно невелика. Поэтому получил распространение другой приближённый метод, основанный на замене интегрального члена уравнения лучистого равновесия суммой Гаусса для численных квадратур. Уравнение переноса излучения пишется при этом для тех значений cosθ, которые являются точками деления интервала в квадратурной формуле. Это позволяет свести задачу к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Преимущество этого метода состоит в том, что можно повышать точность результатов, увеличивая число членов квадратурной формулы. Однако и при небольшом числе членов этой формулы получаются удовлетворительные результаты благодаря высокой точности замены интеграла суммой Гаусса.

Указанный метод был подробно разработан Чандрасекаром [4]. Мы сейчас применим этот метод к решению системы уравнений (2.9).

Предварительно перепишем эту систему в виде одного уравнения:

μ

𝑑𝐼(τ,μ)

𝑑τ

=

𝐼(τ,μ)

-

1

2

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ')

𝑑μ'

,

(2.34)

где обозначено μ=cosθ.

Представим интегральный член уравнения (2.34) в виде суммы согласно квадратурной формуле Гаусса:

+1

∫

-1

𝐼(τ,μ)

𝑑μ

=

𝑛

∑

𝑗=-𝑛

𝑎

_𝑗

𝐼(τ,μ

_𝑗

)

.

(2.35)

Здесь μ_-𝑛,…,μ_-1,μ₁,…μ_𝑛 суть корни полинома Лежандра 𝑃_2𝑛(μ) и 𝑎_𝑗 — некоторые весовые множители (𝑎_-𝑗=𝑎_𝑗). Представление (2.35) тем точнее, чем больше 𝑛

В 𝑛-м приближении уравнение (2.34) заменяется системой линейных дифференциальных уравнений порядка 2𝑛:

μ

_𝑖

𝑑𝐼_𝑖

𝑑τ

=

𝐼

_𝑖

-

1

2

∑

𝑗

𝑎

_𝑗

𝐼

_𝑗

(𝑖

=

±1,

±2,

…,

±𝑛

),

(2.36)

где для краткости 𝐼(τ,μ) обозначено через 𝐼_𝑖.

Произвольные постоянные, входящие в общее решение этой системы, определяются из следующих условий: 1) отсутствует излучение, падающее на фотосферу извне, т.е. 𝐼_-𝑖=0 при τ=0 (𝑖=1,2, ,𝑛); 2) не может быть членов, экспоненциально возрастающих с τ, 3) задан поток излучения 𝐻=π𝐹.