Знание функции 𝑆(τ) позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину 𝐼(0,θ). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом θ к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии θ от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной 𝐼(0,θ) даётся распределение яркости по диску звезды.
Чтобы найти величину 𝐼(0,θ), надо в формуле (2.42), дающей интенсивность излучения, идущего снизу вверх (т.е. при θ<π/2), положить τ=0. Делая это и заменяя переменную интегрирования τ' на τ, находим
𝐼(0,θ)
=
∞
∫
0
𝑆(τ)
𝑒
-τsecθ
secθ
𝑑τ
.
(2.54)
Выше были получены различные приближённые формулы для функции 𝑆(τ). Посмотрим, к какому распределению яркости по диску звезды приводит каждая из этих формул.
Пользуясь для функции 𝑆(τ) формулами (2.24), (2.33) и (2.40), полученными в приближениях Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и в первом приближении Чандрасекара, соответственно находим
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.55)
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
1
2
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.56)
и
𝐼(0,θ)
=
𝐹
⎛
⎜
⎝
√3
4
+
3
4
cosθ
⎞
⎟
⎠
,
(2.57)
Для отношения яркости в центре диска к яркости на краю, т.е. для величины 𝐼(0,0)/𝐼(0,π/2), эти формулы соответственно дают: 3, 2,5 и 2,7. Как мы увидим ниже, точное значение этой величины равно 2,9.
Таким образом, яркость в центре диска значительно больше яркости на краю. Объясняется это тем, что в центре диска излучение выходит в среднем из более глубоких слоёв, чем на краю.
Приведённый выше теоретический закон распределения яркости по диску звезды в общем подтверждается наблюдательными данными. Эти данные получены в основном при изучении Солнца, так как дисков других звёзд мы не видим. Некоторые сведения о потемнении диска звезды при переходе от центра к краю даёт также анализ кривых изменения блеска затменных переменных. В этом случае одна звезда периодически закрывает другую и по свечению оставшейся не закрытой части диска звезды можно судить о распределении яркости по диску.
Подчеркнём, что в этом параграфе речь шла о полных (т.е. проинтегрированных по всему спектру) яркостях. Наблюдения же дают не только распределение по диску звезды полной яркости, но и распределение яркости в различных длинах волн. Вопрос о законе потемнения диска звезды при переходе от центра к краю в различных длинах волн будет рассмотрен ниже.
§ 3. Точное решение основных уравнений
1. Уравнение для резольвенты.
Приведённое выше интегральное уравнение Милна представляет собой частный случай уравнений, довольно часто встречающихся в астрофизике. Все эти уравнения имеют ядра, зависящие от абсолютного значения разности двух аргументов. Для решения таких уравнений был предложен сравнительно простой метод, который мы сейчас и изложим (см. [5]). Затем этот метод будет использован для получения точного решения задачи о переносе излучения через фотосферу звезды. В дальнейшем тем же методом будут решены другие астрофизические задачи (об образовании линий поглощения в звёздных спектрах, о рассеянии света в атмосферах планет и т.д.).
Рассмотрим интегральное уравнение
𝑆(τ)
=
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ'|)
𝑆(τ')
𝑑τ'
+
𝑔(τ)
,
(3.1)
определяющее функцию 𝑆(τ) (не совпадающую, вообще говоря, с введённой ранее функцией 𝑆(τ), но имеющую аналогичный физический смысл). Здесь 𝐾(|τ-τ'|) — ядро уравнения и 𝑔(τ) —функция, характеризующая распределение источников излучения в среде. Функции 𝐾(τ) и 𝑔(τ) являются заданными и для разных задач различными (с примерами мы познакомимся позднее).
Решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде
𝑆(τ)
=
𝑔(τ)
+
∞
∫
0
Γ(τ,τ')
𝑔(τ')
𝑑τ'
,
(3.2)
где Γ(τ,τ') — резольвента, удовлетворяющая, как известно, уравнению
Γ(τ,τ')
=
𝐾
(|τ-τ'|)
+
∞
∫
0
𝐾
(|τ-τ''|)
Γ(τ'',τ')
𝑑τ''
.
(3.3)
При этом Γ(τ,τ') является симметричной функцией от τ и τ', т.е. Γ(τ,τ')=Γ(τ',τ).
Пользуясь уравнением (3.3), мы можем получить новое уравнение для резольвенты. Для этого перепишем (3.3) в виде
Γ(τ,τ')
=
𝐾(|τ-τ'|)
+
τ
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ-α,τ')
𝑑α
+
+
∞
∫
0
𝐾(α)
Γ(τ+α,τ')
𝑑α
.
(3.4)
Дифференцируя (3.4) сначала по τ, затем по τ' и складывая почленно полученные равенства, находим
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
𝐾(τ)
Γ(0,τ')
+
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
⎛
⎜
⎝
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
⎞
⎟
⎠
𝑑τ''
.
(3.5)
С другой стороны, из уравнения (3.3) имеем
Γ(0,τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ''|)
Γ(τ'',0)
𝑑τ''
.
(3.6)
Сравнение (3.5) и (3.6) даёт
∂Γ
∂τ
+
∂Γ
∂τ'
=
Φ(τ)
Φ(τ')
,
(3.7)
где обозначено
Γ(0,τ)
=
Φ(τ)
.
(3.8)
Из (3.7) следует (при τ'>τ):
Γ(τ,τ')
=
Φ(τ'-τ)
+
τ
∫
0
Φ(α)
Φ(α+τ'-τ)
𝑑α
.
(3.9)
Таким образом, резольвента Γ(τ,τ') выражается через функцию Φ(τ), зависящую только от одного аргумента.
Для определения функции Φ(τ) может быть использовано уравнение
Φ(τ)
=
𝐾(τ)
+
∞
∫
0
𝐾(|τ-τ'|)
Φ(τ')
𝑑τ'
,
(3.10)
представляющее собой уравнение (3.6) при учёте (3.8). Другое уравнение для определения Φ(τ) будет получено ниже.
2. Вспомогательные уравнения.