Курс теоретической астрофизики

Величина ℰ_ν представляет собой освещённость площадки с одной стороны, а величина ℰ'_ν — освещённость площадки с другой стороны. Таким образом, поток излучения через какую-либо площадку есть разность освещённостей этой площадки.

Отметим важное свойство интенсивности излучения: в пустом пространстве (т.е. при отсутствии в нём поглощения и испускания лучистой энергии) интенсивность излучения не меняется вдоль луча.

Для доказательства этого свойства возьмём на луче две элементарные площадки, расположенные перпендикулярно к лучу на расстоянии 𝑠 друг от друга. Пусть 𝑑σ и 𝑑σ' — площади этих площадок, а 𝑑ω и 𝑑ω' — телесные углы, под которыми с одной площадки видна другая. Рассматривая лучистую энергию, проходящую через обе площадки, мы можем написать: 𝐼_ν𝑑σ 𝑑ω=𝐼'_ν𝑑σ' 𝑑ω', где 𝐼_ν и 𝐼'_ν — интенсивность излучения, падающего на одну и другую площадку соответственно. Но 𝑑ω=𝑠²𝑑σ' и 𝑑ω'=𝑠²𝑑σ. Поэтому, как и утверждалось, имеем 𝐼_ν=𝐼'_ν

Из сказанного, в частности, следует, что интенсивность солнечного излучения на расстоянии от Солнца до Земли такая же, как и при выходе его из Солнца. Очевидно, однако, что плотность и поток излучения убывают по мере удаления от Солнца.

2. Уравнение переноса излучения.

Выше уже было сказано, что в пустом пространстве интенсивность излучения не меняется вдоль луча. Теперь мы допустим, что пространство заполнено средой, способной поглощать и испускать лучистую энергию. В таком случае интенсивность излучения будет меняться вдоль луча, и мы сейчас выведем уравнение, описывающее это изменение. Однако предварительно введём в рассмотрение величины, характеризующие поглощательную и испускательную способность среды.

Пусть на площадку 𝑑σ, расположенную перпендикулярно к направлению излучения, падает излучение интенсивности 𝐼_ν внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡. Количество энергии, падающее на площадку, будет равно 𝐼_ν𝑑σ 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Если среда способна поглощать излучение, то на пути 𝑑𝑠 из указанного количества энергии будет поглощена некоторая доля, пропорциональная 𝑑𝑠. Мы обозначим эту долю через α_ν𝑑𝑠. Таким образом, количество поглощённой энергии на пути 𝑑𝑠 будет равно

α

_ν

𝑑𝑠

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

(1.9)

Величина α_ν называется коэффициентом поглощения. Так как доля поглощённой энергии α_ν𝑑𝑠 есть величина безразмерная, то коэффициент поглощения α_ν имеет размерность, обратную длине. Заметим, что коэффициент поглощения зависит от частоты излучения и координат данной точки, но не зависит от направления излучения (в изотропной среде).

Если среда способна также излучать энергию, то количество энергии, излучённое объёмом 𝑑𝑉 внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν в течение времени 𝑑𝑡, будет пропорционально 𝑑𝑉 𝑑ω 𝑑ν 𝑑𝑡. Мы обозначим это количество энергии через

ε

_ν

𝑑𝑉

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

(1.10)

и назовём величину ε_ν коэффициентом излучения. Следовательно, коэффициент излучения есть количество энергии, излучаемое единичным объёмом в единичном телесном угле в единичном интервале частот за единицу времени. Коэффициент излучения зависит от частоты ν, от координат данной точки и, вообще говоря, от направления излучения.

Считая величины α_ν и ε_ν заданными, найдём, как меняется интенсивность излучения вдоль луча. При этом будем предполагать, что поле излучения стационарно, т.е. не меняется с течением времени.

Возьмём элементарный цилиндр, ось которого направлена по данному лучу. Пусть площадь основания,цилиндра равна 𝑑σ, а высота равна 𝑑𝑠 (причём высота мала по сравнению с линейными размерами основания). Рассмотрим излучение, входящее в цилиндр и выходящее из него внутри телесного угла 𝑑ω в интервале частот от ν до ν+𝑑ν за время 𝑑𝑡. Если интенсивность излучения, входящего в цилиндр, есть 𝐼_ν, то количество входящей в цилиндр энергии будет равно

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

Обозначим интенсивность выходящего из цилиндра излучения через 𝐼_ν+𝑑𝐼_ν. Тогда количество выходящей из цилиндра энергии будет равно

(𝐼

_ν

+𝑑𝐼

_ν

)

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

.

Разница между указанными количествами энергии возникает как за счёт поглощения энергии в цилиндре, так и за счёт испускания энергии цилиндром. Количество энергии, поглощаемой в цилиндре, определяется выражением (1.9). Что же касается энергии, испускаемой цилиндром, то она будет дана выражением (1.10), если мы положим в нём 𝑑𝑉=𝑑σ 𝑑𝑠. Таким образом, получаем

(𝐼

_ν

+𝑑𝐼

_ν

)

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

=

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

-

-

α

_ν

𝑑𝑠

𝐼

_ν

𝑑σ

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

+

ε

_ν

𝑑σ

𝑑𝑠

𝑑ω

𝑑ν

𝑑𝑡

,

или, после необходимых сокращений,

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑠

=-

α

_ν

𝐼

_ν

+

ε

_ν

.

(1.11)

Это и есть искомое уравнение, определяющее изменение интенсивности излучения при прохождении его через поглощающую и излучающую среду. Оно называется уравнением переноса излучения.

В частном случае, когда в среде происходит поглощение лучистой энергии, но нет испускания (т.е. α_ν≠0, а ε_ν=0), вместо уравнения (1.11) имеем

𝑑𝐼_ν

𝑑𝑠

=-

α

_ν

𝐼

_ν

.

(1.12)

Интегрирование этого уравнения даёт

𝐼

_ν

(𝑠)

=

𝐼

_ν

(0)

exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑠

∫

0

α

_ν

(𝑠')

𝑑𝑠'

⎞

⎟

⎠

(1.13)

где 𝐼_ν(0) — интенсивность излучения при 𝑠=0 (например, интенсивность излучения, входящего в среду).

Безразмерная величина

𝑠

∫

0

α

_ν

(𝑠')