Уравнения (27.37) и (27.38) должны быть решены при граничных условиях, аналогичных (27.15). Пользуясь этими условиями, из указанных уравнений получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡):
𝑆(𝑡)
=
1
2
𝑡₀
∫
0
⎡
⎣
𝐾(|𝑡-𝑡'|)
+
𝐾(𝑡+𝑡')
⎤
⎦
𝑆(𝑡')
𝑑𝑡'
+
𝑆₀(𝑡)
,
(27.40)
где
𝐾(𝑡)
=
𝐴
+∞
∫
-∞
α²(𝑥)
𝐸₁[𝑡α(𝑥)]
𝑑𝑥
(27.41)
и
𝑆₀(𝑡)
=
1-𝑝
𝑝
𝐴𝑞ℎν₁₂
Δν𝐷
𝑆
𝑐
(τ)
.
(27.42)
Заметим, что между оптическими расстояниями 𝑡 и τ существует очевидная связь:
τ
=
𝑞𝑡
,
τ₀
=
𝑞𝑡₀
(27.43)
Как показывают вычисления, 𝑞≈10⁻⁴. Поэтому мы видим, что при оптической толщине туманности сразу за пределом серии Лаймана порядка единицы (такие значения τ₀ следует принять для зоны 𝙷 II) оптическая толщина туманности в центре линии Lα будет порядка десятка тысяч.
Нахождение функции 𝑆(𝑡) из уравнения (27.40) полностью определяет поле Lα-излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения 𝐼ν(𝑡,θ). Через функцию 𝑆(𝑡) можно выразить и другие физические величины, связанные с Lα-излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:
𝑛₂
𝑛₁
=
𝑔₂
𝑔₁
𝑐²
2ℎν₁₂³
𝑆(𝑡)
.
(27.44)
Здесь мы воспользовались также формулами (8.12) и (8.5).
Ядро интегрального уравнения (27.40) выражается через функцию 𝐾(𝑡), которая в свою очередь зависит от величины α(𝑥). Поэтому и искомая функция 𝑆(𝑡) будет существенно зависеть от величины α(𝑥), характеризующей контур коэффициента поглощения.
Первоначально в теории диффузии Lα-излучения в туманностях принимался прямоугольный контур коэффициента поглощения, т.е. считалось, что α(𝑥)=1 при |𝑥|≤1 и α(𝑥)=0 при |𝑥|>1. В таком случае уравнение (27.40) имеет вид
𝑆(𝑡)
=
1
2
𝑡₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|𝑡-𝑡'|
+
𝐸₁(𝑡+𝑡')
⎤
⎦
𝑆(𝑡')
𝑑𝑡'
+
𝑆₀(𝑡)
.
(27.45)
Здесь мы не будем заниматься решением этого уравнения, а только укажем, что в результате получаются очень большие значения для плотности Lα-излучения в туманности. Это значит, что Lα-квант испытывает в туманности очень большое число рассеяний. Именно, среднее число рассеяний оказывается порядка квадрата оптической толщины туманности в центре линии Lα, т.е.
𝑁
≈
𝑡₀²
.
(27.46)
Следовательно, при 𝑡₀≈10⁴ будет 𝑁≈10⁸.
Однако предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности коэффициент поглощения максимален в центре линии и постепенно убывает с удалением от него. Вследствие этого диффузия излучения в спектральной линии обладает следующей особенностью. Каждый квант, поглощённый в каком-либо месте туманности, может быть затем излучён на любом расстоянии от центра линии (так как εν~𝑘ν). В частности, он может быть излучён с такой частотой, что оптическая толщина туманности в этой частоте будет по порядку меньше единицы (т.е. 𝑡ν⁰=𝑡₀α(𝑥)). Такой квант беспрепятственно выйдет из туманности. Следовательно, для каждого кванта, поглощённого в любом месте туманности, имеется определённая вероятность выйти из туманности наружу сразу после переизлучения. Очевидно, что такой процесс не может происходить в случае прямоугольного контура коэффициента поглощения. В этом случае квант выходит из туманности наружу только после длительной диффузии, подойдя близко к границе туманности.
Указанная особенность диффузии излучения в спектральной линии позволяет легко получить приближённое решение уравнения (27.40). Из сказанного выше следует, что Lα-квант, возникший в каком-либо месте туманности, выходит из неё наружу после диффузии в сравнительно небольшой области. Следовательно, плотность Lα-излучения в данном месте мало зависит от плотности излучения в далёких от него частях туманности. Поэтому в уравнении (27.40) мы можем приближённо вынести за знак интеграла значение функции 𝑆(𝑡') при 𝑡'=𝑡. Сделав это, получаем
𝑆(𝑡)
⎡
⎢
⎣
1-
∞
∫
0
𝐾(𝑢)
𝑑𝑢
+
1
2
∞
∫
𝑡₀-𝑡
𝐾(𝑢)
𝑑𝑢
+
+
1
2
∞
∫
𝑡₀+𝑡
𝐾(𝑢)
𝑑𝑢
⎤
⎥
⎦
=
𝑆₀(𝑡)
.
(27.47)
Но из (27.41) следует
∞
∫
0
𝐾(𝑢)
𝑑𝑢
=
1.
(27.48)
Поэтому из (27.47) находим
𝑆(𝑡)
=
2𝑆₀(𝑡)
𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)
,
(27.49)
где
𝐿(𝑡)
=
∞
∫
𝑡
𝐾(𝑢)
𝑑𝑢
=
𝐴
+∞
∫
-∞
α²(𝑥)
𝐸₂[α(𝑥)𝑡]
𝑑𝑥
,
(27.50)
𝐸₂𝑡 — вторая интегрально-показательная функция.
Легко видеть, что величина ½[𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)] представляет собой долю Lα-квантов, выходящих из туманности, из общего числа Lα-квантов, излучаемых на оптическом расстоянии 𝑡 от внутренней границы туманности. Следовательно, соотношение (27.49) выражает равенство между собой числа Lα-квантов, возникающих в данном объёме из 𝐿𝑐-излучения, и числа Lα-квантов, излучаемых этим объёмом и покидающих туманность.
Мы можем считать, что отношение 𝑆(𝑡)/𝑆₀(𝑡) приближённо определяет собой среднее число рассеяний, испытываемых Lα-квантом, возникшим на оптическом расстоянии 𝑡. Из формулы (27.49) следует, что это число приближённо равно
𝑁(𝑡)
=
2
𝐿(𝑡₀-𝑡)+𝐿(𝑡₀+𝑡)
.
(27.51)
Формулу (27.51) легко понять и на основании физического смысла величины 𝐿(𝑡).
Рассмотрим в виде примера случай, когда коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е. α(𝑥)=𝑒-𝑥². В этом случае
𝐾(𝑡)
=
2
√π
∞
∫
0
α(𝑥)=𝑒
-2𝑥²
𝐸₁(𝑡𝑒
-𝑥²
)
𝑑𝑥
(27.52)
и
𝐿(𝑡)
=
2
√π
∞
∫
0
α(𝑥)=𝑒
-𝑥²
𝐸₂(𝑡𝑒
-𝑥²
)
𝑑𝑥
(27.53)
При 𝑡≫1 из (27.52) и (27.53) вытекают следующие асимптотические формулы: