Считая, как и выше, что диффузия излучения сопровождается перераспределением по частотам при элементарном акте рассеяния, мы для коэффициента излучения εν возьмём выражение (27.31). На основании сказанного в качестве уравнения переноса излучения имеем
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑𝑡
=
α
⎡
⎢
⎣
𝑥
-
𝑣(𝑡)
𝑢
cos θ
⎤
⎥
⎦
(𝑆-𝐼
ν
)
.
(27.62)
Уравнение лучистого равновесия будет теперь иметь вид
𝑆(𝑡)
=
𝐴
+∞
∫
-∞
𝑑𝑥
∫
α
⎡
⎢
⎣
𝑥
-
𝑣(𝑡)
𝑢
cos θ
⎤
⎥
⎦
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
𝑆₀(𝑡)
.
(27.63)
При 𝑣=0 два последних уравнения переходят в уравнения (27.37) и (27.38).
Из уравнений (27.62) и (27.63) при граничных условиях (27.15) или (27.57) можно получить интегральное уравнение для определения функции 𝑆(𝑡). Для простоты мы примем, что скорость расширения 𝑣 линейно возрастает с ростом оптического расстояния 𝑡, т.е.
𝑣(𝑡)
=
𝑣(0)
+
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⋅
𝑡
, где
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
const
и
𝑑𝑣
𝑑𝑡
>
0
.
Тогда функция 𝑆(𝑡) будет определяться уравнением (27.40) или (27.58), в которых функция 𝐾(𝑡) равна
𝐾(𝑡)
=
𝐴
1
∫
0
𝑑μ
μ
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
α(𝑥+γ𝑡μ)
×
×
exp
⎛
⎜
⎝
-
-𝑡
∫
0
α(𝑥+γ𝑧μ)
𝑑𝑧
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
.
(27.64)
где обозначено
γ
=
1
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑡
.
(27.65)
Приближённое решение упомянутых уравнений даётся формулами (27.49) или (27.59), в которых
𝐿(𝑡)
=
𝐴
1
∫
0
𝑑μ
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
exp
⎛
⎜
⎝
-
-𝑡
∫
0
α(𝑥+γ𝑧μ)
𝑑𝑧
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
=
=
𝐴
1
∫
0
𝑑μ
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
exp
⎛
⎜
⎝
-
1
γμ²
𝑥+γ𝑡μ
∫
𝑥
α(𝑦)
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
.
(27.66)
В газовых туманностях обычно величина γ очень мала, а величина 𝑡 очень велика. Рассмотрим поэтому два частных случая формулы (27.66).
1. Будем считать, что γ𝑡≪1, т.е. туманность расширяется с небольшим градиентом скорости. В предельном случае можем положить γ=0. Тогда формула (27.66) переходит в формулу (27.50), и поле Lα-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов в крыльях линии (таким путём, какой был подробно рассмотрен выше).
2. Допустим, что γ𝑡≫1, т.е. градиент скорости в туманности велик. В предельном случае положим 𝑡=∞. Тогда выход квантов в крыльях линии будет невозможен, и поле Lα-излучения в туманности определяется выходом из неё квантов вследствие эффекта Доплера. В данном случае формула (27.66) принимает вид
𝐿
=
𝐴γ
1
∫
0
⎛
⎜
⎝
1
-
exp
⎡
⎢
⎣
-
1
𝐴γμ²
⎤
⎥
⎦
⎞
⎟
⎠
μ²
𝑑μ
.
(27.67)
При 𝐴γ≪1 из (26.67) находим
𝐿
=
1
3
𝐴γ
.
(27.68)
Следует отметить, что величина 𝐴γ не зависит от контура коэффициента поглощения. В самом деле, мы имеем
∫
𝑘
ν
𝑑ν
=
𝑘₀
Δ
ν
𝐷
+∞
∫
-∞
α(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑘₀ν₀𝑢
𝑐𝐴
.
(27.69)
Поэтому, пользуясь формулой (8.12), получаем
𝑘₀𝑢
𝐴
=
ℎ𝐵₁₂
.
(27.70)
Следовательно,
𝐴γ
=
𝐴
𝑛₁𝑢𝑘₀
𝑑𝑣
𝑑𝑟
=
1
𝑛₁ℎ𝐵₁₂
𝑑𝑣
𝑑𝑟
.
(27.71)
В рассматриваемом случае приближённое выражение для функции 𝑆(𝑡) имеет вид
𝑆(𝑡)
=
3𝑆₀(𝑡)
𝐴γ
.
(27.72)
Разумеется, этой формулой можно пользоваться только для областей туманности, далёких от границ [как и вообще выражениями для 𝑆(𝑡), полученными изложенным методом].
Интересно выяснить, при каких условиях указанные частные случаи формулы (27.66) осуществляются в действительности. Как уже было установлено, ответ на этот вопрос зависит от значения величины
δ
=
γ𝑡
=
𝑡
𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑟
.
(27.73)
Если δ≫1, то кванты в линии выходят из туманности в основном вследствие эффекта Доплера, и функция 𝑆(𝑡) определяется формулой (27.72). Если же δ≪1, то кванты покидают туманность в основном в крыльях линии. Такое заключение вполне понятно, так как величина δ на основании формул (27.55) и (27.68) по порядку равна отношению доли квантов, выходящих из туманности вследствие эффекта Доплера, и доли квантов, выходящих в крыльях, линии.
Формулу (27.73) мы можем переписать в виде
δ
=
Δ𝑟
𝑢
⋅
𝑑𝑣
𝑑𝑟
,
(27.74)
где Δ𝑟 — толщина туманности. Оценить величину 𝑑𝑣/𝑑𝑟 весьма трудно, однако надо иметь в виду, что для реальных туманностей вместо 𝑑𝑣/𝑑𝑟 надо брать 𝑑𝑣/𝑑𝑠, т.е. градиент скорости, усреднённый по всем направлениям. Как будет показано в § 28, в туманностях всегда 𝑑𝑣/𝑑𝑠≈𝑣/𝑟 (вследствие кривизны слоёв). Поэтому вместо формулы (27.74) получаем
δ
≈
Δ𝑟
𝑟
𝑣
𝑢
.
(27.75)
Применим формулу (27.75) к планетарным туманностям. Так как толщина туманности составляет несколько десятых её радиуса, а скорость расширения туманности в несколько раз больше средней термической скорости атома, то в данном случае δ — порядка единицы. Следовательно, функция 𝐿(𝑡) определяется самой формулой (27.66), а не её предельными случаями. Иными словами, при нахождении поля Lα-излучения в туманности надо принимать во внимание как выход кванта в крыльях линии, так и выход вследствие эффекта Доплера.
Представляет также интерес задача о нахождении поля Lα-излучения в оболочках новых звёзд. Скорости расширения этих оболочек гораздо больше скорости расширения планетарных туманностей. Поэтому в данном случае будет выполняться неравенство δ≫1. Следовательно, поле Lα-излучения в оболочках новых звёзд определяется в основном выходом квантов из оболочки вследствие эффекта Доплера.
4. Световое давление в туманностях.