Читаем Курс теоретической астрофизики полностью

где ε₁ν — объёмный коэффициент излучения при рекомбинациях на первый уровень. Как следует из формулы (26.2), величина ε₁ν может быть представлена в виде

ε₁

ν

=

ε₁

ν₁

exp

-

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇𝑒

.

(27.5)

Пусть τ — оптическое расстояние какого-либо места в туманности от её внутренней границы в частоте ν₁ т.е.

τ

=

𝑟

𝑟₁

𝑛₁

𝑘₁

ν₁

𝑑𝑟

.

(27.6)

При помощи формул (27.2), (27.5) и (27.6) вместо уравнения (27.4) находим

cos θ

𝑑𝐼ν

𝑑τ

=-

ν₁

ν

⎞³

𝐼

ν

+

ε₁ν₁

𝑛₁𝑘₁ν₁

exp

-

ℎ(ν-ν₁)

𝑘𝑇𝑒

.

(27.7)

Очевидно, что величины 𝐶₁ и ε₁ν₁ должны быть связаны между собой. Подстановка (27.5) в (26.3) даёт

𝑛

𝑒

𝑛⁺𝐶₁

=

ε₁ν₁

𝐸₁

χ₁

𝑘𝑇𝑒

exp

χ₁

𝑘𝑇𝑒

.

(27.8)

Введём обозначение

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑛𝑒𝑛⁺𝐶₁

4π𝑛₁𝑘₁ν₁

.

(27.9)

Тогда уравнения (27.7) и (27.3) принимают вид

cos θ

𝑑𝐼

ν

=-

ν₁

𝐼

ν

+

exp

-

ℎν

𝑆

𝑐

(τ)

𝑑τ

ν

𝐸₁

χ₁

𝑘𝑇

𝑒

𝑘𝑇

𝑒

(27.10)

и

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑝

ν₁

ν₁

ν

⎞³

𝑑ν

ℎν

𝐼

ν

𝑑ω

+

𝑆

𝑐

⁰(τ)

,

(27.11)

где

𝑆

𝑐

⁰(τ)

=

𝑝

ν₁

ν₁

ν

⎞³

𝑑ν

ℎν

𝐼

ν

𝑑ω

(27.12)

Интенсивность излучения, приходящего от звезды в данное место туманности, очевидно, равна

𝐼

ν

=

𝐼

ν

exp

ν₁

ν

⎞³

,

(27.13)

где 𝐼ν⃰ — интенсивность излучения, выходящего из атмосферы звезды. Поэтому находим

𝑆

𝑐

⁰(τ)

=

𝑝𝑊

ν₁

ν₁

ν

⎞³

𝐼

ν

exp

ν₁

ν

⎞³

𝑑ν

ℎν

,

(27.14)

где 𝑊 — коэффициент дилюции излучения.

Таким образом, для определения двух искомых величин 𝐼ν(τ,θ) и 𝑆𝑐(τ) мы получили два уравнения, (27.10) и (27.11). К этим уравнениям надо добавить ещё граничные условия, которые в данном случае имеют вид

𝐼

ν

(0,θ)

=

𝐼

ν

(0,π-θ)

,

𝐼

ν

(τ₀,θ)

при

θ

>

π

2

.

(27.15)

Рис. 34

Первое из этих условий, имеющее место на внутренней границе туманности (при τ=0), означает, что интенсивность излучения, выходящего из туманности, равна интенсивности излучения, входящего в туманность. Это происходит потому, что излучение, входящее в туманность в каком-либо месте на внутренней границе под углом θ к нормали, есть не что иное, как излучение, выходящее из туманности под углом π-θ на противоположной стороне (рис. 34). Второе же условие показывает, что на внешней границе туманности (при τ=τ₀) нет излучения, идущего внутрь. Из уравнения (27.10) при граничных условиях (27.15) можно найти выражение для интенсивности излучения 𝐼ν(τ,θ) через функцию 𝑆𝑐(τ). Подставляя это выражение в уравнение (27.11), получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆𝑐(τ):

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑝

2

τ₀

0

𝐾(|τ-τ'|)

+

𝐾(τ-τ')

×

×

𝑆

𝑐

(τ')

𝑑τ'

+

𝑆

𝑐

⁰(τ)

,

(27.16)

где

𝐾(τ)

=

ν₁

ν₁

ν₁

³

  𝐸₁

⎣ τ

ν₁

ν₁

³

⎦ exp

⎝ -

ℎν

𝑘𝑇𝑒

𝑑ν

ν

𝐸₁

χ₁

𝑘𝑇𝑒

.

(27.17)

Уравнение (27.16) может быть изучено методами, изложенными в § 3. В частности, при τ₀ можно получить точное решение этого уравнения в явном виде.

Для упрощения рассматриваемой задачи иногда вводят средний коэффициент поглощения для всего лаймановского континуума и под τ понимают соответствующее ему оптическое расстояние. Как легко видеть, тогда вместо уравнения (27.16) имеем

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑝

2

τ₀

0

𝐸₁|τ-τ'|

+

𝐸₁(τ-τ')

×

×

𝑆

𝑐

(τ')

𝑑τ'

+

𝑆

𝑐

⁰(τ)

.

(27.18)

Что же касается величины 𝑆𝑐⁰(τ), то её можно представить в виде

𝑆

𝑐

⁰(τ)

=

𝑝

𝑁𝑐

𝑒

,

(27.19)

где 𝑁𝑐 — число квантов лаймановского континуума, падающих от звезды на 1 см² внутренней границы туманности за 1 с.

При τ₀=∞ точное решение уравнения (27.18), полученное указанным выше методом, имеет вид

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑝

𝑁𝑐

𝑒

+

+

1

2

0

Φ(τ')

𝑒

-|τ-τ'|

+

𝑒

-(τ+τ')

𝑑τ'

,

(27.20)

где

Φ(τ)

=

4𝑝

1

𝑥𝑒

-𝑥τ

𝑑𝑥

+

(𝑝π)²

+

2𝑥

+

𝑝 ln

𝑥-1

²

𝑥+1

+

2𝑘(1-𝑘²)

𝑒

-𝑘τ

,

𝑝+𝑘²-1

(27.21)

и 𝑘 определяется из уравнения

𝑝

2𝑘

ln

1+𝑘

1-𝑘

=

1

.

(27.22)

В таблице 42 приведены значения величины 4π𝑆𝑐(τ)/𝑝 вычисленные при помощи формулы (27.20).

Таблица 42

Значения величины 4π𝑆𝑐(τ)/𝑝

τ

𝑝

0,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0

1,0

1,13

1,20

1,30

1,42

1,61

1,93

2,68

0,2

0,82

0,97

1,04

1,14

1,27

1,46

1,79

2,54

0,4

0,67

0,81

0,87

0,96

1,09

1,27

1,59

2,32

0,6

0,55

0,67

0,71

0,81

0,92

1,10

1,40

2,11

0,8

0,45

0,55

0,60

0,68

0,78

0,94

1,23

1,91

1,0

0,37

0,46

0,50

0,57

0,66

0,81

1,08

1,73

1,5

0,22

0,28

0,32

0,36

0,43

0,55

0,76

1,34

2,0

0,14

0,17

0,20

0,23

0,28

0,37

0,54

1,03

2,5

0,08

0,11

0,12

0,15

0,18

0,25

0,38

0,80

3,0

0,05

0,06

0,08

0,09

0,12

0,16

0,27

0,62

При τ≫1 из формулы (27.20) можно получить следующее асимптотическое выражение для функции 𝑆𝑐(τ):

𝑆

𝑐

(τ)

=

𝑁𝑐

𝑘𝑝

𝑝+𝑘²-1

𝑒

-𝑘τ

.

(27.23)

Значения величины 𝑘, найденные из уравнения (27.22), приведены в таблице:

𝑝

0

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

𝑘

1,00

0,96

0,91

0,82

0,70

0,52

0

Из таблицы 42 видно, что роль диффузного излучения существенно зависит от величины параметра 𝑝. В случае диффузии L𝑐-излучения этот параметр равен

𝑝

=

𝐶₁(𝑇

𝑒

)

×

1

𝐶

𝑖

(𝑇

𝑒

)

⎞⁻¹

(27.24)

Вычисления по формуле (27.24) дают:

𝑇

𝑒

, K

5 000

10 000

20 000

50 000

𝑝

0,39

0,44

0,49

0,57

Как мы знаем, электронные температуры туманностей порядка 10 000 K. Поэтому из табл. 42 следует, что в туманностях содержится примерно такое же число квантов диффузного L𝑐-излучения, как и число L𝑐-квантов, приходящих непосредственно от звезды. Таким образом, надо признать, что роль диффузного L𝑐-излучения в туманностях не очень велика (даже в рассмотренном нами случае τ₀=∞, когда она максимальна).

Перейти на страницу:

Похожие книги

100 великих научных открытий
100 великих научных открытий

Астрономия, физика, математика, химия, биология и медицина — 100 открытий, которые стали научными прорывами и изменили нашу жизнь. Патенты и изобретения — по-настоящему эпохальные научные перевороты. Величайшие медицинские открытия — пенициллин и инсулин, группы крови и резусфактор, ДНК и РНК. Фотосинтез, периодический закон химических элементов и другие биологические процессы. Открытия в физике — атмосферное давление, инфракрасное излучение и ультрафиолет. Астрономические знания о магнитном поле земли и законе всемирного тяготения, теории Большого взрыва и озоновых дырах. Математическая теорема Пифагора, неевклидова геометрия, иррациональные числа и другие самые невероятные научные открытия за всю историю человечества!

Дмитрий Самин , Коллектив авторов

Астрономия и Космос / Энциклопедии / Прочая научная литература / Образование и наука
Теория струн и скрытые измерения Вселенной
Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Революционная теория струн утверждает, что мы живем в десятимерной Вселенной, но только четыре из этих измерений доступны человеческому восприятию. Если верить современным ученым, остальные шесть измерений свернуты в удивительную структуру, известную как многообразие Калаби-Яу. Легендарный математик Шинтан Яу, один из первооткрывателей этих поразительных пространств, утверждает, что геометрия не только является основой теории струн, но и лежит в самой природе нашей Вселенной.Читая эту книгу, вы вместе с авторами повторите захватывающий путь научного открытия: от безумной идеи до завершенной теории. Вас ждет увлекательное исследование, удивительное путешествие в скрытые измерения, определяющие то, что мы называем Вселенной, как в большом, так и в малом масштабе.

Стив Надис , Шинтан Яу , Яу Шинтан

Астрономия и Космос / Научная литература / Технические науки / Образование и наука