где ε₁ν — объёмный коэффициент излучения при рекомбинациях на первый уровень. Как следует из формулы (26.2), величина ε₁ν может быть представлена в виде
ε₁
ν
=
ε₁
ν₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎ(ν-ν₁)
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.5)
Пусть τ — оптическое расстояние какого-либо места в туманности от её внутренней границы в частоте ν₁ т.е.
τ
=
𝑟
∫
𝑟₁
𝑛₁
𝑘₁
ν₁
𝑑𝑟
.
(27.6)
При помощи формул (27.2), (27.5) и (27.6) вместо уравнения (27.4) находим
cos θ
𝑑𝐼ν
𝑑τ
=-
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝐼
ν
+
ε₁ν₁
𝑛₁𝑘₁ν₁
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎ(ν-ν₁)
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.7)
Очевидно, что величины 𝐶₁ и ε₁ν₁ должны быть связаны между собой. Подстановка (27.5) в (26.3) даёт
𝑛
𝑒
𝑛⁺𝐶₁
=
4π
ε₁ν₁
ℎ
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.8)
Введём обозначение
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑛𝑒𝑛⁺𝐶₁
4π𝑛₁𝑘₁ν₁
.
(27.9)
Тогда уравнения (27.7) и (27.3) принимают вид
cos θ
𝑑𝐼
ν
=-
⎛
⎜
⎝
ν₁
⎞
⎟
⎠
𝐼
ν
+
ℎ
exp
⎛
⎜
⎝
-
ℎν
⎞
⎟
⎠
𝑆
𝑐
(τ)
𝑑τ
ν
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ₁
⎞
⎟
⎠
𝑘𝑇
𝑒
𝑘𝑇
𝑒
(27.10)
и
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑝
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝑑ν
ℎν
∫
𝐼
ν
𝑑ω
4π
+
𝑆
𝑐
⁰(τ)
,
(27.11)
где
𝑆
𝑐
⁰(τ)
=
𝑝
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝑑ν
ℎν
∫
𝐼
ν
⁰
𝑑ω
4π
(27.12)
Интенсивность излучения, приходящего от звезды в данное место туманности, очевидно, равна
𝐼
ν
⁰
=
𝐼
ν
⃰
exp
⎡
⎢
⎣
-τ
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
,
(27.13)
где 𝐼ν⃰ — интенсивность излучения, выходящего из атмосферы звезды. Поэтому находим
𝑆
𝑐
⁰(τ)
=
𝑝𝑊
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
𝐼
ν
⃰
exp
⎡
⎢
⎣
-τ
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν
⎞³
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑ν
ℎν
,
(27.14)
где 𝑊 — коэффициент дилюции излучения.
Таким образом, для определения двух искомых величин 𝐼ν(τ,θ) и 𝑆𝑐(τ) мы получили два уравнения, (27.10) и (27.11). К этим уравнениям надо добавить ещё граничные условия, которые в данном случае имеют вид
𝐼
ν
(0,θ)
=
𝐼
ν
(0,π-θ)
,
𝐼
ν
(τ₀,θ)
при
θ
>
π
2
.
(27.15)
Рис. 34
Первое из этих условий, имеющее место на внутренней границе туманности (при τ=0), означает, что интенсивность излучения, выходящего из туманности, равна интенсивности излучения, входящего в туманность. Это происходит потому, что излучение, входящее в туманность в каком-либо месте на внутренней границе под углом θ к нормали, есть не что иное, как излучение, выходящее из туманности под углом π-θ на противоположной стороне (рис. 34). Второе же условие показывает, что на внешней границе туманности (при τ=τ₀) нет излучения, идущего внутрь. Из уравнения (27.10) при граничных условиях (27.15) можно найти выражение для интенсивности излучения 𝐼ν(τ,θ) через функцию 𝑆𝑐(τ). Подставляя это выражение в уравнение (27.11), получаем следующее интегральное уравнение для определения функции 𝑆𝑐(τ):
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑝
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐾(|τ-τ'|)
+
𝐾(τ-τ')
⎤
⎦
×
×
𝑆
𝑐
(τ')
𝑑τ'
+
𝑆
𝑐
⁰(τ)
,
(27.16)
где
𝐾(τ)
=
∞
∫
ν₁
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν₁
⎞
⎟
⎠
³
𝐸₁
⎡
⎢
⎣ τ
⎛
⎜
⎝
ν₁
ν₁
⎞
⎟
⎠
³
⎤
⎥
⎦ exp
⎛
⎜
⎝ -
ℎν
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
𝑑ν
ν
𝐸₁
⎛
⎜
⎝
χ₁
𝑘𝑇𝑒
⎞
⎟
⎠
.
(27.17)
Уравнение (27.16) может быть изучено методами, изложенными в § 3. В частности, при τ₀ можно получить точное решение этого уравнения в явном виде.
Для упрощения рассматриваемой задачи иногда вводят средний коэффициент поглощения для всего лаймановского континуума и под τ понимают соответствующее ему оптическое расстояние. Как легко видеть, тогда вместо уравнения (27.16) имеем
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑝
2
τ₀
∫
0
⎡
⎣
𝐸₁|τ-τ'|
+
𝐸₁(τ-τ')
⎤
⎦
×
×
𝑆
𝑐
(τ')
𝑑τ'
+
𝑆
𝑐
⁰(τ)
.
(27.18)
Что же касается величины 𝑆𝑐⁰(τ), то её можно представить в виде
𝑆
𝑐
⁰(τ)
=
𝑝
𝑁𝑐
4π
𝑒
-τ
,
(27.19)
где 𝑁𝑐 — число квантов лаймановского континуума, падающих от звезды на 1 см² внутренней границы туманности за 1 с.
При τ₀=∞ точное решение уравнения (27.18), полученное указанным выше методом, имеет вид
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑝
𝑁𝑐
4π
⎧
⎨
⎩
𝑒
-τ
+
+
1
2
∞
∫
0
Φ(τ')
⎡
⎣
𝑒
-|τ-τ'|
+
𝑒
-(τ+τ')
⎤
⎦
𝑑τ'
⎫
⎬
⎭
,
(27.20)
где
Φ(τ)
=
4𝑝
∞
∫
1
𝑥𝑒
-𝑥τ
𝑑𝑥
+
(𝑝π)²
+
⎛
⎜
⎝
2𝑥
+
𝑝 ln
𝑥-1
⎞
⎟
⎠
²
𝑥+1
+
2𝑘(1-𝑘²)
𝑒
-𝑘τ
,
𝑝+𝑘²-1
(27.21)
и 𝑘 определяется из уравнения
𝑝
2𝑘
ln
1+𝑘
1-𝑘
=
1
.
(27.22)
В таблице 42 приведены значения величины 4π𝑆𝑐(τ)/𝑝 вычисленные при помощи формулы (27.20).
Таблица 42
Значения величины 4π𝑆𝑐(τ)/𝑝
τ
𝑝
0,0
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,0
1,0
1,13
1,20
1,30
1,42
1,61
1,93
2,68
0,2
0,82
0,97
1,04
1,14
1,27
1,46
1,79
2,54
0,4
0,67
0,81
0,87
0,96
1,09
1,27
1,59
2,32
0,6
0,55
0,67
0,71
0,81
0,92
1,10
1,40
2,11
0,8
0,45
0,55
0,60
0,68
0,78
0,94
1,23
1,91
1,0
0,37
0,46
0,50
0,57
0,66
0,81
1,08
1,73
1,5
0,22
0,28
0,32
0,36
0,43
0,55
0,76
1,34
2,0
0,14
0,17
0,20
0,23
0,28
0,37
0,54
1,03
2,5
0,08
0,11
0,12
0,15
0,18
0,25
0,38
0,80
3,0
0,05
0,06
0,08
0,09
0,12
0,16
0,27
0,62
При τ≫1 из формулы (27.20) можно получить следующее асимптотическое выражение для функции 𝑆𝑐(τ):
𝑆
𝑐
(τ)
=
𝑁𝑐
2π
𝑘𝑝
𝑝+𝑘²-1
𝑒
-𝑘τ
.
(27.23)
Значения величины 𝑘, найденные из уравнения (27.22), приведены в таблице:
𝑝
0
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
𝑘
1,00
0,96
0,91
0,82
0,70
0,52
0
Из таблицы 42 видно, что роль диффузного излучения существенно зависит от величины параметра 𝑝. В случае диффузии L𝑐-излучения этот параметр равен
𝑝
=
𝐶₁(𝑇
𝑒
)
×
⎛
⎜
⎝
∞
∫
1
𝐶
𝑖
(𝑇
𝑒
)
⎞⁻¹
⎟
⎠
(27.24)
Вычисления по формуле (27.24) дают:
𝑇
𝑒
, K
5 000
10 000
20 000
50 000
𝑝
0,39
0,44
0,49
0,57
Как мы знаем, электронные температуры туманностей порядка 10 000 K. Поэтому из табл. 42 следует, что в туманностях содержится примерно такое же число квантов диффузного L𝑐-излучения, как и число L𝑐-квантов, приходящих непосредственно от звезды. Таким образом, надо признать, что роль диффузного L𝑐-излучения в туманностях не очень велика (даже в рассмотренном нами случае τ₀=∞, когда она максимальна).