Курс теоретической астрофизики

где g и g — статистические веса основного состояния нейтрального атома водорода и отрицательного иона водорода соответственно (g=2, g=1), —энергия ионизации иона H. Подставляя n из (5.13) в (5.12), получаем

=

n

p

_e

k

h^3

4(2m)^3^/^2(kT)^/^2

exp

-

kT

+

a

x

x

exp

-

h

kT

.

(5.14)

Результаты вычисления коэффициента поглощения по формуле (5.14) приведены на графике, взятом из книги Чандрасекара 14]. График даёт величину , отнесённую к одному нейтральному атому водорода и к единице электронного давления, в зависимости от длины волны для разных температур (рис. 7). Из вычислений, в частности, следует, что поглощение, обусловленное свободно-свободными переходами играет существенную роль только для больших длин волн (примерно для значений >12 000 A).

Рис. 7

4. Рассеяние света свободными электронами.

Кроме поглощения света атомами, в переносе излучения через фотосферу некоторую роль играет также рассеяние излучения —свободными электронами (имеющее наибольшее значение), атомами и молекулами. Коэффициент рассеяния, рассчитанный на один свободный электрон, даётся формулой Томсона:

=

8

3

e^2

mc^2

^2

(5.15)

где m и e — заряд и масса электрона, c — скорость света. Числовое значение этого коэффициента равно =6,65x10^2 см^2.

Объёмный коэффициент рассеяния свободными электронами равен

_e

=

n

_e

,

(5.16)

где n_e — число свободных электронов в 1 см^3. Очевидно, что в формулу (5.16) не нужно вводить множитель, учитывающий отрицательное поглощение.

Пользуясь формулами (5.16) и (5.11), можно сравнить роль электронного рассеяния и роль поглощения атомами водорода. Находя с помощью указанных формул отношение _e/, мы видим, что оно тем больше, чем меньше плотность и чем выше температура. Поэтому роль электронного рассеяния особенно велика в фотосферах горячих сверхгигантов.

Если в элементарном объёме фотосферы происходит поглощение света и рассеяние света свободными электронами, то объёмный коэффициент излучения равен

=

2h^3

c^2

1

e^h/(kT)-1

+

_e

I

d

4

,

(5.17)

где — объёмный коэффициент поглощения и I — интенсивность падающего на объём излучения. Из формулы (5.17) ясно видно различие между поглощением и рассеянием излучения: только поглощённая энергия перерабатывается в элементарном объёме и переизлучается им согласно закону Кирхгофа — Планка (если имеет место локальное термодинамическое равновесие).

Однако электронное рассеяние все же способствует переработке излучения, так как благодаря электронному рассеянию увеличивается путь фотона в среде, а значит, и вероятность поглощения.

В формуле (5.17) приближённо принимается, что рассеяние света свободными электронами является изотропным. В действительности интенсивность излучения, рассеянного элементарным объёмом, зависит от угла между направлениями падающего и рассеянного излучения (а именно, пропорциональна 1+cos^2). Отметим также, что излучение, рассеянное свободными электронами, является поляризованным.

5. Средний коэффициент поглощения.

Выше были приведены результаты определения коэффициентов поглощения для некоторых атомов. На самом деле в каждом объёме фотосферы находится смесь атомов разных химических элементов. Поэтому объёмный коэффициент поглощения зависит не только от физических условий в данном месте (т.е. от температуры и плотности), но и от химического состава. Вследствие этого ещё более усложняется зависимость объёмного коэффициента поглощения от частоты.

Между тем в изложенной в предыдущих параграфах теории фотосфер делалось предположение о независимости коэффициента поглощения от частоты. При отказе от этого предположения теория фотосфер становится гораздо более сложной. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли воспользоваться результатами изложенной теории фотосфер и для того случая, когда коэффициент поглощения зависит от частоты, по крайней мере в первом приближении. С этой целью в теорию фотосфер вводится средний коэффициент поглощения (т.е. коэффициент поглощения, усреднённый по частоте). Его пытаются определить так, чтобы сохранилась ранее полученная зависимость температуры от оптической глубины.

Возьмём уравнение переноса излучения

cos 

dI

dr

=-

I

+

.

(5.18)

Умножая это уравнение на cos , интегрируя по всем направлениям и вынося за знак интеграла среднее значение cos^2, равное ^1/, получаем

4

3

dI

dr

=-

H

,

(5.19)

где H — поток излучения и I — средняя интенсивность излучения равная

I

=

I

d

4

.

(5.20)

Интегрируя (5.19) по всем частотам и вводя обозначение

=

Hd

H

,

(5.21)

находим

4

3

dI

dr

=-

H

,

(5.22)

где H — полный поток излучения в фотосфере и I — средняя полная интенсивность излучения.

Величина , определённая формулой (5.21), есть средний коэффициент поглощения. Вводя соответствующую ему оптическую глубину по формуле

=

r

dr

,

(5.23)

вместо (5.22) имеем

4

3

dI

d

=

H

,

(5.24)

Так как поток излучения H постоянен в фотосфере, то интегрирование (5.24) даёт

I

=

H

2

1

+

3

2

.

(5.25)

Здесь мы воспользовались граничным условием: 2I=H при =0.