Курс теоретической астрофизики

Кроме фотоионизаций и рекомбинаций, к поглощению и излучению энергии в непрерывном спектре ведут также переходы атомов между состояниями с положительной энергией, т.е. переходы электронов из свободных состояний в свободные. Очевидно, что при таких переходах могут поглощаться и излучаться кванты любой частоты.

Вероятности всех указанных переходов характеризуются соответствующими коэффициентами поглощения и излучения. Мы обозначим через k_i коэффициент поглощения квантов частоты , рассчитанный на один атом в i-м состоянии. Тогда объёмный коэффициент поглощения квантов частоты атомами в i-м состоянии будет равен _i=n_ik_i где n — число атомов в i-м состоянии в единице объёма. А объёмный коэффициент поглощения, обусловленный всеми фотоионизациями, будет равен

'

=

i=i

n

_i

k

_i

,

(5.2)

где i определяется для каждой частоты из того условия, что при i>=i выполняется неравенство h>=_i.

Объёмный коэффициент поглощения, обусловленный свободно-свободными переходами, мы обозначим через ''. Очевидно, что он пропорционален числу свободных электронов и числу ионизованных атомов в единице объёма (так как свободно-свободные переходы совершаются в поле иона).

Полный объёмный коэффициент поглощения (фигурировавший в предыдущем параграфе) является суммой:

=

'

+

''

.

(5.3)

Мы видим, что коэффициент поглощения существенно зависит от распределения атомов по состояниям. Как уже было сказано, в теории фотосфер делается предположение о локальном термодинамическом равновесии. Поэтому и распределение атомов по состояниям мы возьмём такое же, как в случае термодинамического равновесия.

Как известно, в указанном случае распределение атомов по дискретным уровням энергии даётся формулой Больцмана:

n_i

n

=

g_i

g

exp

-

-_i

kT

,

(5.4)

где g_i — статистический вес i-гo уровня. Величина -_i представляет собой энергию возбуждения i-гo уровня.

Обобщая (5.4) на состояния атома с положительной энергией, можно получить отношение числа ионизованных атомов к числу нейтральных атомов. Это отношение даётся формулой

n

_e

n

n

=

2

g

g

(2mkT)^3^/^2

h^3

exp

-

kT

,

(5.5)

которая называется формулой ионизации или формулой Саха. Здесь n_e — число свободных электронов и n — число ионов в основном состоянии в 1 см^3, g —статистический вес основного состояния иона.

В дальнейшем мы приведём выражения для коэффициентов поглощения k_i и '' для некоторых атомов и, пользуясь формулами (5.2) — (5.5), составим выражение для объёмного коэффициента поглощения . Формулы для коэффициентов излучения, соответствующих разным типам переходов, нам в теории фотосфер не понадобятся, так как при термодинамическом равновесии нужный нам объёмный коэффициент излучения выражается через объёмный коэффициент поглощения законом Кирхгофа — Планка.

2. Поглощение атомами водорода.

Для вычисления коэффициентов поглощения в непрерывном спектре необходимо знать волновые функции атома как для состояний с отрицательной энергией, так и для состояний с положительной энергией. Нахождение волновых функций является, как известно, очень трудной задачей. Только для простейших случаев она более или менее удовлетворительно разрешена.

Мы сейчас приведём результаты определения коэффициентов поглощения для водородного атома. Коэффициент поглощения k_i, рассчитанный на один атом водорода в i-м состоянии, равен

k

_i

=

2

33

me^1

chi^3

g

_i

,

(5.6)

где m и e — масса и заряд электрона соответственно, g_i — некоторый поправочный множитель, близкий к единице (так называемый множитель Гаунта). Формула (5.6) справедлива лишь для частот, удовлетворяющих неравенству >=_i=_i/h, т.е. за пределом 1-й серии. Мы видим, что за пределом серии коэффициент поглощения k_i убывает обратно пропорционально кубу частоты. Значения коэффициента поглощения сразу за пределами первых серий порядка 10^1 см^2 (0,63·10^1 см^2 сразу за пределом серии Лаймана, 1,4·10^1 см^2 — сразу за пределом серии Бальмера и т.д.).

Чтобы найти объёмный коэффициент поглощения ', надо подставить выражение (5.6) в формулу (5.2). Вместе с тем мы примем, что распределение атомов по состояниям даётся формулами (5.4) и (5.5). Из двух последних формул получаем

n

_i

=

n

_e

n

g_i

g

h^3

2(2mkT)^3^/^2

exp

_i

kT

(5.7)

Подставляя (5.6) и (5.7) в формулу (5.2), находим

'

=

n

_e

n

2^2e

33ch

(2mkT)^3^/^2

·

1

^3

i=i

g_i

i^3

exp

_i

kT

,

(5.8)

где величина как и раньше, есть энергия ионизации из первого состояния, равная

=

2^2me

h^2

.

(5.9)

В формуле (5.8) для частот за границей серии Лаймана i=1, для частот от границы серии Бальмера до границы серии Лаймана i=2 и т.д.

Для коэффициента поглощения '', обусловленного свободно-свободными переходами электрона в поле протона, квантовая механика даёт

''

=

n

_e

n

2^2ekT

33ch(2mkT)^3^/^2

1

^3

g

,

(5.10)