Курс теоретической астрофизики

Ранее была найдена зависимость температуры от оптической глубины в фотосфере. При этом были сделаны предположения о лучистом равновесии и локальном термодинамическом равновесии. Теперь мы найдём зависимость температуры и плотности от геометрической глубины в фотосфере. Для этого нам придётся сделать ещё одно предположение — о механическом равновесии фотосферы. Очевидно, что справедливость этого предположения для подавляющего большинства звёзд не вызывает сомнений (кроме звёзд типа Вольфа — Райе, новых и подобных им звёзд, которых мы сейчас рассматривать не будем).

Будем считать, что каждый элемент объёма в фотосфере находится в равновесии под действием двух сил: силы тяготения и силы газового давления (световым давлением пока пренебрегаем). Приравнивая эти силы друг другу, получаем уравнение гидростатического равновесия

dp

=-

g

dr

,

(4.42)

где p — давление, — плотность и g — ускорение силы тяжести в фотосфере.

Очевидно, что газ в фотосфере можно считать идеальным. Поэтому к уравнению (4.42) добавим ещё уравнение состояния идеального газа:

p

=

R*

T

,

(4.43)

где — средний молекулярный вес и R* — газовая постоянная.

Считая, что не меняется в фотосфере, из (4.42) и (4.43) находим

R*

d(T)

=-

g

dr

.

(4.44)

Воспользуемся также полученной выше связью между температурой T и оптической глубиной . Приближённая связь между этими величинами даётся формулой (4.20), из которой следует

dT

=-

3

4

T

4

e

dr

.

(4.45)

Здесь под , как уже сказано, может пониматься средний коэффициент поглощения.

Из двух последних уравнений можно найти и T в виде функций от r. Но для этого надо задать зависимость от и T. Мы положим = и будем сначала считать, что =const. Тогда из уравнений (4.44) и (4.45) получаем

d(T)

=

3

4

g

R*

dT

T

4

e

,

(4.46)

или, после интегрирования,

=

4

3

g

R*

T

-

T

4

0

T

4

e T

,

(4.47)

где T — поверхностная температура звезды.

В глубоких слоях фотосферы, где T>>T плотность оказывается связанной с температурой соотношением

=

4

3

g

R*

T^3

T

4

e

.

(4.48)

Подставляя (4.48) в (4.44), находим следующую формулу для градиента температуры:

dT

dr

=-

g

4R*

.

(4.49)

Уравнения (4.44) и (4.45) могут быть легко решены и при более общих предположениях относительно . Допустим, например, что

~

^2

T^s

,

(4.50)

где s — некоторый параметр (такая формула для , как увидим в § 5, действительно встречается). Тогда вместо (4.48) и (4.49) получаем

~

T

^(s+3)/2

(4.51)

и

dT

dr

=-

2

s+5

g

R*

.

(4.52)

Применим полученные выше формулы к фотосфере Солнца. Полагая в формуле (4.49) g=2,7·10, =1, R*=8,3·10, находим: dT/dr=-10 кельвинов/см. Следовательно, при углублении в фотосферу Солнца на 1 км температура возрастает на 10 кельвинов.

Из полученных формул можно также найти величину |dr/d|. т.е. геометрическую толщину слоя единичной оптической толщины. Подставляя в формулу d=- dr выражение (4.48), находим

dr

d

=-

3

4

R*T_e

gT^3

.

(4.53)

Если мы положим здесь T=T_e то величина |dr/d|. будет характеризовать собой толщину фотосферы. В случае Солнца толщина фотосферы оказывается порядка 100 км. Так как радиус Солнца равен 700 000 км, то мы убеждаемся в том, что толщина фотосферы гораздо меньше радиуса. Этим результатом мы уже пользовались раньше, считая фотосферные слои плоскопараллельными.

5. Световое давление в фотосфере.

При рассмотрении механического равновесия фотосферы мы не приняли во внимание световое давление. Оценим теперь роль светового давления в фотосфере, найдя отношение светового давления к газовому. Для этого получим сначала общие формулы, определяющие силу светового давления. В дальнейшем эти формулы нам понадобятся для применения не только к фотосфере, но и к другим объектам.

Как известно, каждый фотон обладает количеством движения, равным h/c Если фотон поглощается атомом, то атом получает количество движения h/c в направлении движения фотона. Этим и вызывается давление излучения на атомы.

Возьмём элементарный объём с площадью основания d и толщиной dr. Допустим, что на объём падает излучение со всех сторон, и найдём силу светового давления, действующую на объём в направлении нормали к основанию. Рассмотрим сперва излучение, падающее на объём под углом к нормали внутри телесного угла d в интервале частот от до +d в течение промежутка времени dt. Если интенсивность излучения есть I, то количество энергии, падающее на объём, будет равно I d cos d d dt. Однако не вся эта энергия производит давление на объём, а только часть её, поглощаемая объёмом. Так как путь фотонов в объёме равен dr sec, то количество поглощаемой объёмом энергии равно  I d dr d d dt. Чтобы найти количество движения, получаемое объёмом в направлении нормали к основанию, надо эту энергию умножить на cos/c. Следовательно, указанное количество движения будет равно

cos

c

I

d

dr

d

d

dt

.

Интегрируя это выражение по всем частотам и по всем направлениям, получаем полное количество движения, приобретаемое объёмом за время dt. Оно равно

1

c

d

dr

dt

d

I

cos

d

,

или

1

c

d

dr

dt

H

d

.

(4.54)

Обозначим через

f

_r

d

dr

dt

(4.55)