Курс теоретической астрофизики

Из системы уравнений (2.9) можно получить одно интегральное уравнение для определения функции S. Для этого надо решить первое из уравнений (2.9) относительно I(,) и подставить найденное выражение I(,) через S во второе из этих уравнений. Такой путь решения задачи представляется наиболее естественным, так как мы получаем одно уравнение для определения функции, зависящей только от одного аргумента.

Общее решение первого из уравнений (2.9) имеет вид

I(,)

=

I(

_*

,)

e

^-(_*-)sec

+

+

_*

e

^-('-)sec

S(')

sec

d'

.

(2.41)

Оно представляет собой уравнение переноса излучения в интегральной форме [сравните с уравнением (1.14)].

Уравнение (2.41) следует рассматривать отдельно для двух случаев: для излучения, идущего снизу вверх, и для излучения, идущего сверху вниз.

В первом случае, полагая _*= и считая, что интенсивность излучения не возрастает экспоненциально с ростом , получаем

I(,)

=

e

^-('-)sec

S(')

sec

d'

<

2

.

(2.42)

Во втором случае, полагая _*=0 и принимая во внимание граничное условие (2.10), находим

I(,)

=-

0

e

^-('-)sec

S(')

sec

d'

>

2

.

(2.43)

Теперь мы должны подставить выражения (2.42) и (2.43) во второе из уравнений (2.9). Делая эту подстановку и меняя порядок интегрирования, имеем

S

=

1

2

S(')

d'

x

x

/2

0

e

^-('-)sec

S(')

sec

sin

d

-

-

1

2

0

S(')

d'

/2

e

^-('-)sec

S(')

sec

sin

d

.

(2.44)

Положим sec=x в первом интеграле и -sec=x во втором. Учитывая, что secsind=dx/x вместо предыдущего уравнения получаем

S

=

1

2

S(')

d'

1

e

^-('-)x

dx

x

+

+

1

2

0

S(')

d'

1

e

^-(-')x

dx

x

.

(2.45)

Так как показатели в обеих экспонентах могут быть представлены в виде -|-'|x, то (2.45) короче записывается так:

S

=

1

2

0

S(')

d'

1

e

^-|-'|x

dx

x

.

(2.46)

Ядро интегрального уравнения (2.46) есть интегральная показательная функция, определяемая формулой

E

=

1

e

^-x

dx

x

.

(2.47)

Заметим, что функция E при =0 имеет логарифмическую особенность, а при -> стремится к нулю как e^-/.

С помощью (2.47) интегральное уравнение для определения функции S окончательно записывается в виде

S

=

1

2

0

E

|-'|

S(')

d'

.

(2.48)

Это интегральное уравнение называется уравнением Милна.

Уравнение (2.48) определяет функцию S с точностью до произвольного множителя, который находится из того условия, что задан поток излучения H=F.

Выразим поток излучения через функцию S. Для этого надо подставить в формулу (2.21) выражения (2.42) и (2.43). Выполняя такие же преобразования, как и при получении уравнения (2.48), находим

F

=

2

S(')

E

('-)

d'

-

2

0

S(')

E

(-')

d'

,

(2.49)

где E — вторая из интегральных показательных функций, определяемых равенством

E

_n

=

1

e

^-x

dx

xⁿ

.

(2.50)

Интегральное уравнение Милна рассматривалось многими авторами. Наиболее полное исследование принадлежит Хопфу, который нашёл, что точное решение этого уравнения имеет вид

S

=

3

4

F

+

q

(2.51)

где q — функция, монотонно изменяющаяся в небольших пределах между

q(0)

=

1

3

=

0,58

и

q

=

0,71

.

Представляет интерес сравнение приближённых выражений для S, полученных выше при помощи методов Шварцшильда — Шустера, Эддингтона и Чандрасекара (в первом приближении), с точной формулой (2.51). Эти приближённые выражения даются соответственно формулами (2.24), (2.33) и (2.40). Мы видим, что наибольшей точностью обладает формула (2.40). Значения функции S, найденные по этой формуле при =0 и при больших , а именно

S(0)

=

3

4

F

(2.52)

и

S

=

3

4

F

при

>>

1

,

(2.53)

совпадают с точными значениями S. Формула (2.33) даёт точные значения функции S лишь при >>1. Значения S, полученные по формуле (2.24), отличаются от точных значений как при =0, так и при >>1.

5. Распределение яркости по диску звезды.

Рис. 3

Знание функции S позволяет определить интенсивность излучения на любой оптической глубине. В частности, мы можем найти интенсивность излучения, выходящего из звезды, т.е. величину I(0,). Очевидно, что интенсивность излучения, выходящего из фотосферы под углом к нормали, представляет собой яркость диска звезды на угловом расстоянии от центра диска (рис. 3). Поэтому величиной I(0,) даётся распределение яркости по диску звезды.