Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Изначальная задача геометрии состояла в расчете площади. (Термин «геометрия», или «измерение земли», впервые использовал историк Геродот, описывая метод, который изобрели египетские сборщики налогов для расчета площади земель, затопленных ежегодными разливами Нила.) Как мы знаем, площадь прямоугольника равна произведению его ширины на высоту; исходя из этого, можно сделать вывод, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Древние греки нашли различные методы вычисления площади более сложных фигур. Среди них самым значительным достижением была «квадратура параболы» Архимеда, или метод вычисления площади фигуры, ограниченной параболой и прямой. Как показано на рисунке ниже, Архимед сначала нарисовал большой треугольник, вписанный в параболу, а затем на его сторонах построил новые треугольники[142]. На каждой из двух сторон треугольников меньшего размера он построил еще меньшие треугольники, и так далее, придерживаясь условия, что три вершины каждого треугольника должны находиться на параболе. Чем больше треугольников рисовал Архимед, тем сильнее их совокупная площадь приближалась к площади параболического сегмента. Если бы этот процесс продолжался и дальше, бесконечное количество треугольников полностью покрыло бы требуемую площадь.

Квадратура параболы

Далее Архимед доказал, что если площадь большого треугольника равна Т, то площадь каждого из двух треугольников меньшего размера составляет , а площадь каждого из четырех треугольников, построенных на их сторонах, равна и т. д. Другими словами, площадь параболического сектора, представляющая собой сумму всех треугольников, — это бесконечный ряд:

или

или

В заключение Архимед доказал, что сумма этого ряда равна . Следовательно, чтобы вычислить площадь между прямой и параболой, достаточно начертить треугольник, измерить длину его основания и высоту, рассчитать площадь и умножить полученный результат на . Я не буду приводить здесь доказательство Архимеда, а вместо этого покажу рисунок, который содержит в себе это доказательство. Математические схемы такого типа называются доказательством без слов. Приведенный ниже рисунок — пожалуй, мой самый любимый в этой книге, и он гласит, что

Посмотрите на этот рисунок и попытайтесь понять почему. (А если не сможете, откройте Приложение 6.) Если это уравнение верно, тогда общая площадь равна:

Что и требовалось доказать.

Квадратура параболы Архимеда — самый наглядный пример применения метода последовательных исчерпываний: суммирование последовательности площадей малых фигур, приближающихся к площади большой фигуры. Доказательство этого метода считается наиболее значительным достижением Архимеда, поскольку отображает первую «современную» трактовку математической бесконечности. За две сотни лет до Архимеда философ Зенон предостерегал против использования такого понятия, как бесконечность, в серии парадоксов. В самом знаменитом из них, «Ахиллес и черепаха», демонстрировалось, что сложение бесконечного количества величин приводит к абсурдному результату.

Представьте себе, говорил Зенон, что Ахиллес пытается догнать черепаху. Когда атлет достигнет того места, где она была, когда он начал свой бег, черепаха проползет немного дальше. Когда он доберется до второй позиции, черепаха снова продвинется дальше. Ахиллес может продолжать свой бег сколько угодно, но каждый раз, когда он будет достигать того места, где находилась черепаха, она уже будет немного впереди. Зенон утверждал, что если рассматривать движение как бесконечное количество рывков на протяжении бесконечного количества интервалов, то быстроногий Ахиллес никогда не догонит неповоротливую черепаху. Древние греки так и не смогли развязать логические узлы Зенона, поэтому математики всячески избегали концепции бесконечности в своей работе. Даже Архимед, использовавший метод последовательных исчерпываний, никогда не называл всеобъемлющую сущность именем «бесконечный ряд» так прямо, как это делаю я. Но различия касались исключительно терминологии, а не самой идеи. Архимед был первым мыслителем, создавшим аппарат для работы с бесконечным рядом, имеющим конечный предел. Это было важно не только для покорения площадей гораздо более сложных фигур, чем парабола, но и для начала концептуального пути к исчислению. Архимед стал первым из тех атлантов, на плечи которых обопрется в свое время Исаак Ньютон.

Если бесконечность — это самое большое число, тогда какое число самое маленькое? В XVII столетии математики ввели новую концепцию под названием «бесконечно малая величина» — величина, которая меньше любой другой действительной величины, но все же больше ноля.