Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры

Первый Международный конгресс математиков прошел в 1897 году в Цюрихе. На втором конгрессе, состоявшемся в 1900 году в Париже, немецкий математик Давид Гильберт сделал доклад, в котором перечислил 23 нерешенные математические задачи, тем самым определив направление развития этой дисциплины на ближайшую сотню лет. Математики приезжают на Международный конгресс, чтобы оценить и осмыслить свои достижения, а объявления о присуждении Филдсовской премии содержат краткое описание самых интересных работ. Например, Линденштраусс получил медаль Филдса «за результаты по жесткости относительно мер в эргодической теории и за их применение в теории чисел», Смирнов — «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике», а Тяу — «за доказательство фундаментальной леммы в теории автоморфных форм новыми алгебро-геометрическими методами». Возможно, эти формулировки поразили вас не меньше, чем меня, когда я услышал их на конгрессе. На самом деле многим его участникам тоже было трудно понять все это даже после того, как они выслушали разъяснительные доклады. Британский математик Тимоти Гауэрс, лауреат Филдсовской премии за 1998 год, написал в своем блоге: «Если хотите произвести впечатление на друзей, постарайтесь сделать вид, что понимаете [работу Нго]. Если кто-то спросит вас, в чем основная идея его работы, вы можете ответить так: “Ну, самая глубокая его идея состояла в том, что расслоение анизотропной частицы Хитчина в формуле следа — это стек Делиня-Мамфорда”. Если это не произведет должного эффекта, тогда упомяните в разговоре об “искаженных пучках” — они здесь будут явно к месту»[140]. Передовые достижения в области математики настолько сложны в концептуальном плане, что во всем мире найдется не более нескольких сотен человек, способных понять, что именно сделал каждый из обладателей медали Филдса. Что касается работы Нго, математика, специализирующегося на самых абстрактных концепциях, таких людей еще меньше.

Однако краткое описание работы Виллани оказалось более доступным для понимания, чем остальные. Он был удостоен Филдсовской премии «за доказательство нелинейности затухания Ландау и сходимости к равновесию в уравнении Больцмана». Здесь, по крайней мере, было нечто понятное даже для неспециалиста в данной области. Уравнение Больцмана, которое австрийский физик Людвиг Больцман вывел в 1872 году, описывает поведение частиц газа и является одним из самых известных в классической физике. Как оказалось, Виллани — не только ценитель галстуков XIX столетия, но и поклонник ученого мирового уровня тех времен.

Уравнение Больцмана, известное под названием «дифференциальное уравнение с частными производными», выглядит так:

Если вы изучали исчисление в школе, вы увидите в этой формуле ряд знакомых символов, особенно таких, как вытянутый символ ∫ или изогнутый символ ∂. Если вы не изучали этот предмет, не волнуйтесь — немного позже я вам объясню, что значат все эти символы. Исчисление — это важнейшее интеллектуальное достижение эпохи Просвещения, и присуждение Филдсовской премии Седрику Виллани свидетельствует о том, что в данной области до сих пор осуществляются передовые математические исследования. Мы с вами еще вернемся к этому вычурно одетому французскому математику и его уравнению, но для того, чтобы вооружиться необходимыми концептуальными и терминологическими инструментами, нам понадобится сначала перенестись с юга Индии на Сицилию, примерно в III столетие до нашей эры.

На лицевой стороне медали Филдса находится портрет бородатого Архимеда, заслужившего репутацию самого выдающегося математика Античности. Однако Архимеда чаще всего вспоминают в связи с его вкладом в физику. Например, когда он выскочил из ванной с возгласом «Эврика!», это было не математическое открытие, а прорыв в области гидростатики, получивший название «закон выталкивающей силы», или «закон Архимеда». К числу наиболее известных изобретений Архимеда относится гигантский крюк, с помощью которого древние греки топили корабли римлян, пытавшихся захватить его родной город Сиракузы, а также винт, вращая который вручную можно было поднимать воду. Историк Плутарх писал, что сам Архимед считал сооружение машин «низменным и грубым» и был «околдован геометрией». Когда Архимед принимал ванну и его не одолевали мысли о физике, «он продолжал чертить геометрические фигуры на золе очага и даже на собственном теле, натертом маслом и благовониями, проводил пальцем какие-то линии, отдавшись во власть великого наслаждения, которое испытывал от изучения геометрии»[141].